[G, G5] Encontre todos o pontos críticos de f, e em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo ou um mínimo relativo ou nemhum desses. Suponha em cada caso que f seja contínua em toda parte.
f(x)=2-3 x(x+2)^1 / 3

Passo 1

O problema pede para achar os pontos críticos de
f(x)=2-3x(x+2)^1/3
e, em cada um deles, determinar se há máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois. O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivada (regra do quociente) e teste da primeira derivada para classificação de extremos.

Passo 2

Usando a regra do quociente, com u(x)=2-3x e v(x)=(x+2)^1/3, temos
u'(x)=-3, v'(x)=tfrac13(x+2)^-2/3,
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 =-3,(x+2)^1/3-(2-3x),tfrac13(x+2)^-2/3(x+2)^2/3

Passo 3

Fatorando e simplificando obtemos
f'(x) =-6x+203,(x+2)^4/3

Passo 4

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' não existe dentro do domínio de f.
Para f'(x)=0 basta anular o numerador:
6x+20=0 Longrightarrow x=-tfrac103
A derivada também falha em x=-2, mas aí f não está definida (denominador zero), logo não é extremo relativo, mas sim uma singularidade.

Passo 5

Para classificar x=-tfrac103 usamos o sinal de f'(x): o denominador 3,(x+2)^4/3 é sempre positivo (para xneq-2), então o sinal de f' é o de -(6x+20). Assim
  • para x<-tfrac103 temos 6x+20<0 Rightarrow f'(x)>0 (função crescente),
  • para x>-tfrac103 temos 6x+20>0 Rightarrow f'(x)<0 (função decrescente).
    Portanto em x=-tfrac103 ocorre um máximo relativo.

Resposta

O único ponto crítico de f no domínio é
x=-tfrac103,
e nele f tem um máximo relativo.

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