[G, G5] Encontre todos o pontos críticos de f, e em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo ou um mínimo relativo ou nemhum desses. Suponha em cada caso que f seja contínua em toda parte.
f(x)=x e^sin (x)

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos críticos de
f(x)=x,e^sin(x)
e a classificação de cada ponto (máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum). O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas: primeiro encontramos f'(x) e achamos onde f'(x)=0, depois usamos a segunda derivada f''(x) para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada por produto e cadeia:
f'(x)=ddxl[xr];e^sin x+x;ddxl[e^sin xr] =e^sin x+x,e^sin xcos x =e^sin xl(1+xcos xr)
Como e^sin x>0 para todo x, os pontos críticos são exatamente as soluções de
1+xcos x=0 Long<=ftrightarrow xcos x=-1
Denotemos por alphakkin Z a sequência de todas essas soluções, ordenadas crescentemente.

Passo 3

Para classificar, usamos a segunda derivada. De
f'(x)=e^sin x(1+xcos x)
temos, por produto,
f''(x)=ddxl[e^sin xr](1+xcos x)+e^sin x,ddx(1+xcos x)
Como tfracddxe^sin x=e^sin xcos x e tfracddx(1+xcos x)=cos x - xsin x,
f''(x) =e^sin xcos x,(1+xcos x) +e^sin x,(cos x-xsin x) =e^sin xl[2cos x + x(cos^2 x-sin x)r]

Passo 4

Em cada ponto crítico alphak temos 1+alphakcosalphak=0, isto é cosalphak=-1/alphak. Substituindo em f'' obtém-se
f''(alphak) =e^sinalphakl(-tfrac1alphak-alphaksinalphakr)
Portanto o sinal de f''(alphak) é o sinal de
Sk=-1alphak-alphaksinalphak
Calculando numericamente para os dois primeiros alphak>0:
  • alpha1approx2,078 S1<0, logo f''(alpha1)<0 e alpha1 é máximo relativo.
  • alpha2approx4,493 S2>0, logo f''(alpha2)>0 e alpha2 é mínimo relativo.
    Em geral, conforme k cresce, os extremos alternam (máx., mín., máx., ···).

Resposta

Os pontos críticos são todas as soluções alphak da equação
alphakcosalphak=-1
Em cada alphak temos
f''(alphak) =e^sinalphakl(-tfrac1alphak-alphaksinalphakr),
de onde conclui-se que esses pontos se alternam entre máximo relativo (quando f''(alphak)<0) e mínimo relativo (quando f''(alphak)>0).

Exercícios relacionados