Encontre todos o pontos críticos de
, e em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo ou um mínimo relativo ou nemhum desses. Suponha em cada caso que
seja contínua em toda parte.
Passo 1
O enunciado pede todos os pontos críticos de
e a classificação de cada ponto (máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum). O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas: primeiro encontramos
e achamos onde
, depois usamos a segunda derivada
para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada por produto e cadeia:
Como
para todo
, os pontos críticos são exatamente as soluções de
Denotemos por
a sequência de todas essas soluções, ordenadas crescentemente.
Passo 3
Para classificar, usamos a segunda derivada. De
temos, por produto,
Como
e
,
Passo 4
Em cada ponto crítico
temos
, isto é
. Substituindo em
obtém-se
Portanto o sinal de
é o sinal de
Calculando numericamente para os dois primeiros
:
-
dá , logo e é máximo relativo. -
dá , logo e é mínimo relativo.
Em geral, conformecresce, os extremos alternam (máx., mín., máx., ···).
Resposta
Os pontos críticos são todas as soluções
da equação
Em cada
temos
de onde conclui-se que esses pontos se alternam entre máximo relativo (quando
) e mínimo relativo (quando
).