Em cada item, calcule a integral dupla.
(a)
integral duplaR d A, R=[2,5] times[1,3].
(b)
integral duplaR x y^2x^2+1 d A, R=[0,1] times[-3,3].
(c)
integral duplaR sen(x-y) d A, R=[0, pi2] times[0, pi2].
(d)
integral duplaR d A, R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= x^2.
(e)
integral duplaR y1+x^2 d A, R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 4,0 <= y <= raizx.
(f)
integral duplaR e^-y^2 d A, R=(x, y) in R^2 mid 0 <= y <= 3,0 <= x <= y.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de várias integrais duplas sobre regiões R. Vamos usar integração iterada, escolhendo sempre a ordem que simplifica a conta (primeiro em x ou em y), e em alguns casos usar mudança de variável simples ( u-substituição) para avaliar integrais do tipo integral x/(1+x^2),dx ou integral y e^-y^2,dy.

Passo 2

(a) Para
integral duplaRdA, R=[2,5]times[1,3],
a integral é simplesmente a área do retângulo:
integral duplaRdA = (largura)times(a<ura) = (5-2)times(3-1)=3times2=6

Passo 3

(b) Para
integral duplaRx,y^2x^2+1 ,dA, R=[0,1]times[-3,3],
primeiro integramos em y:
integraly=-3^3y^2,dy =2integral0^3y^2,dy =2cdot3^33 =18
Logo resta
integralx=0^1xx^2+1cdot18,dx =18integral0^1xx^2+1,dx
Fazendo u=x^2+1, du=2x,dx, temos
18integral0^1xx^2+1,dx =18cdot12integralu=1^2duu =9[ln u]1^2 =9ln2

Passo 4

(c) Para
integral duplaRsen(x-y),dA, R=l[0,tfracpi2r]timesl[0,tfracpi2r],
integramos em y primeiro:
integral0^pi/2sen(x-y),dy =-cos(x-y)|y=0^pi/2 =-cosl(x-tfracpi2r)+cos(x) =-sin x+cos x
Agora em x:
integral0^pi/2(-sin x+cos x),dx =[cos x+sin x]0^pi/2 =(0+1)-(1+0)=0

Passo 5

(d) Para
integral duplaRdA, R=(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<= x^2,
a área é
integralx=0^2gl(integraly=0^x^21,dygr)dx =integral0^2x^2,dx =x^33|0^2 =83

Passo 6

(e) Para
integral duplaRy1+x^2,dA, R=(x,y)mid0<= x<=4,;0<= y<=raizx,
integramos em y primeiro:
integraly=0^raizxy,dy =y^22|0^raizx =x2
Então
integralx=0^411+x^2cdotx2,dx =12integral0^4x1+x^2,dx
Com u=1+x^2, du=2x,dx,
12integral0^4x1+x^2,dx =12cdot12integral1^17duu =14[ln u]1^17 =14ln17

Passo 7

(f) Para
integral duplaRe^-y^2,dA, R=(x,y)mid0<= y<=3,;0<= x<= y,
integramos em x primeiro:
integralx=0^y1,dx=y
Resta
integraly=0^3y,e^-y^2,dy
Fazendo u=y^2, du=2y,dy,
integral0^3y,e^-y^2,dy =12integral0^9e^-u,du =12l[-e^-ur]0^9 =1-e^-92

Resposta

(a) 6
(b) 9ln2
(c) 0
(d) tfrac83
(e) tfrac14ln17
(f) tfrac1-e^-92

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