Beleza, vamos lá: o enunciado nos dá um sistema linear no espaço de estados
dot x = A,x + B,u(t),
com
$$A=A=-1&1&0-a&-2&00&0&-3, B=100,\quad
B=.$$
O que a gente vai fazer é encontrar os autovalores de (isto é, resolver ) e usar isso para verificar quando o sistema é assintoticamente estável (ou seja, todas as partes reais dos autovalores são negativas).
Para isso precisamos saber:
O que é a matriz identidade .
Como formar .
Como calcular determinante de uma matriz 3×3 e fatorar.
O critério de estabilidade para sistemas LTI (autovalores com parte real negativa).
Passo 2
Escrevendo a matriz lambda I - A = lambda -(-1)& -1 & 0 -(-a)& lambda -(-2)&0 0&0&lambda -(-3) = lambda+1 & -1 & 0 a & lambda+2 & 0 0 & 0 & lambda+3 :
det(lambda I - A) =(lambda+3),detlambda+1 & -1 a & lambda+2
Para achar o polinômio característico, calculamos
Passo 3
Agora expandimos o determinante 2×2:
detlambda+1 & -1 a & lambda+2 =(lambda+1)(lambda+2)-(-1),a =(lambda+1)(lambda+2)+a
Multiplicando pelo fator p(lambda) =(lambda+3)l[(lambda+1)(lambda+2)+ar] =(lambda+3)l(lambda^2+3lambda+2+ar) , o polinômio característico fica
Passo 4
As raízes desse polinômio são os autovalores de lambda3=-3 . Da forma fatorada, já vemos um deles:
lambda^2+3lambda+(2+a)=0,
Os outros dois vêm da equação quadrática
lambda1,2 =-3pmraiz3^2-4(2+a)2 =-3pmraiz1-4a2
cujas soluções são
Passo 5
Pra o sistema ser assintoticamente estável, todas as partes reais dos 2+a>0 Longrightarrow a>-2 devem ser negativas.
já é negativo.
Num polinômio quadrático , as duas raízes têm parte real negativa se, e só se, e (isso vem do critério de Routh-Hurwitz de 2ª ordem).
Aqui e .
Logo precisamos de
Resposta
O sistema é assintoticamente estável exatamente quando