(ldotx1 dotx2 dotx3)=[ccc-1 & 1 & 0 -a & -2 & 0 0 & 0 & -3](lx1 x2 x3)+(l1 0 0) u(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado nos dá um sistema linear no espaço de estados
dot x = A,x + B,u(t),
com
$$A= A=-1&1&0-a&-2&00&0&-3, B=100,\quad
B= .$$
O que a gente vai fazer é encontrar os autovalores de (isto é, resolver ) e usar isso para verificar quando o sistema é assintoticamente estável (ou seja, todas as partes reais dos autovalores são negativas).
Para isso precisamos saber:
  1. O que é a matriz identidade .
  2. Como formar .
  3. Como calcular determinante de uma matriz 3×3 e fatorar.
  4. O critério de estabilidade para sistemas LTI (autovalores com parte real negativa).

Passo 2

Escrevendo a matriz lambda I - A = lambda -(-1)& -1 & 0 -(-a)& lambda -(-2)&0 0&0&lambda -(-3) = lambda+1 & -1 & 0 a & lambda+2 & 0 0 & 0 & lambda+3 :
det(lambda I - A) =(lambda+3),detlambda+1 & -1 a & lambda+2
Para achar o polinômio característico, calculamos

Passo 3

Agora expandimos o determinante 2×2:
detlambda+1 & -1 a & lambda+2 =(lambda+1)(lambda+2)-(-1),a =(lambda+1)(lambda+2)+a
Multiplicando pelo fator p(lambda) =(lambda+3)l[(lambda+1)(lambda+2)+ar] =(lambda+3)l(lambda^2+3lambda+2+ar) , o polinômio característico fica

Passo 4

As raízes desse polinômio são os autovalores de lambda3=-3 . Da forma fatorada, já vemos um deles:
lambda^2+3lambda+(2+a)=0,
Os outros dois vêm da equação quadrática
lambda1,2 =-3pmraiz3^2-4(2+a)2 =-3pmraiz1-4a2
cujas soluções são

Passo 5

Pra o sistema ser assintoticamente estável, todas as partes reais dos 2+a>0 Longrightarrow a>-2 devem ser negativas.
  1. já é negativo.
  2. Num polinômio quadrático , as duas raízes têm parte real negativa se, e só se, e (isso vem do critério de Routh-Hurwitz de 2ª ordem).
    Aqui e .
    Logo precisamos de

Resposta

O sistema é assintoticamente estável exatamente quando
boxeda>-2
Os autovalores são
lambda3=-3, lambda1,2=-3pmraiz1-4a2

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