G(s)=Gm(s) cdot Gp(s) cdot Gv(s)=1(s+1)(2 s+1)
Um colega do seu grupo de projeto de controle afirma que um alto ganho para um controlador proporcional pode fazer com que esse sistema de controle fique instável. Você precisa provar se ele está certo ou errado.
a) Deduza a função de transferência em malha fechada e analise o denominador para determinar o tipo de comportamento dinâmico esperado (sobre amortecimento, oscilatório ou instável). Considere três casos: Kc=0, Kc=1 e Kc infty.
b) Seu colega está correto sobre a instabilidade? Se de fato o sistema de controle é estável, qual o valor do offset para um ganho muito alto?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema em malha aberta
G(s)=Gm(s),Gp(s),Gv(s)=1(s+1)(2s+1)
e alguém falou que, se colocarmos um ganho proporcional bem grande (Kc alto), o sistema em malha fechada pode ficar instável.
Conteúdo: teoria de realimentação unitária, função de transferência em malha fechada, equação característica e polinômio, raízes e estabilidade, discriminante, e cálculo de erro estacionário (offset).
Para resolver, precisamos:
  1. Montar a TF em malha fechada.
  2. Encontrar o denominador (polinômio característico).
  3. Analisar as raízes para Kc=0, Kc=1 e Kc→∞.
  4. Calcular o erro de regime para passo unitário.

Passo 2

Em realimentação unitária com ganho Kc, a TF em malha fechada é
T(s)=Kc,G(s)1+Kc,G(s)
Substituindo T(s)= Kc1(s+1)(2s+1) 1+Kc1(s+1)(2s+1) =Kc(s+1)(2s+1)+Kc :

Passo 3

A equação característica (denominador) é
(s+1)(2s+1)+Kc=0 ;Longrightarrow; 2s^2+3s+1+Kc=0
Esse polinômio De define as raízes pelo discriminante
  • Se : raízes reais e negativas → superamortecido.
  • Se : raízes reais iguais → criticamente amortecido.
  • Se : raízes complexas com parte real negativa → subamortecido.
    Em todos os casos, se a parte real for negativa, é estável.

Passo 4

Caso Kc=0:
2s^2+3s+1=0 ;Longrightarrow; s=-3pmraiz9-84=-3pm14
Ou seja, e . Duas raízes reais negativas → superamortecido e estável.

Passo 5

Caso Kc=1:
2s^2+3s+2=0 ;Longrightarrow; De
s=-3pm jraiz74
Raízes complexas com parte real → subamortecido e estável (oscila um pouco mas decai).

Passo 6

Caso Kc\to\infty:
2s^2+3s+(1+Kc)approx0
O discriminante , logo raízes complexas com
. Continua subamortecido e estável, mesmo com ganho enorme.

Passo 7

Erro de regime para entrada degrau unitário (tipo 0):
ess=limsto0s,E(s) =11+Kc,G(0),
e ess=11+Kc , então
Quando , .

Resposta

a) A TF em malha fechada é
T(s)=Kc(s+1)(2s+1)+Kc Longrightarrow 2s^2+3s+(1+Kc)=0
  • Kc=0: raízes reais e → superamortecido, estável.
  • Kc=1: raízes → subamortecido, estável (oscila).
  • Kc→∞: raízes complexas com → subamortecido, estável.
b) O colega está errado: o sistema nunca fica instável, mesmo com ganho muito alto. Para , o offset para degrau tende a zero.

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