G(s)=K(s^2-4 s+20)(s+2)(s+4)
b) Determine circ valor de K que torna circ sistema marginalmente estável.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função de transferência
G(s)=K,(s^2-4s+20)(s+2)(s+4)
e nos pede o valor de que torna o sistema marginalmente estável.
Conteúdo: estabilidade de sistemas de controle via equação característica (procurar raízes na fronteira imaginária).
O que vamos usar:
  • Montar a equação característica do laço fechado (1+OL = 0).
  • Procurar condição para ter raízes puramente imaginárias (marginal).

Passo 2

Primeiro, fechamos o laço com realimentação unitária. A equação característica é
1 + G(s) = 0 Longrightarrow 1 + K,(s^2-4s+20)(s+2)(s+4) = 0
Multiplicando tudo por (s+2)(s+4) + K,(s^2-4s+20) = 0 , fica
(1+K),s^2 + (6-4K),s + (8+20K) = 0
Expandindo , obtemos a equação característica em :

Passo 3

Para marginal estabilidade, queremos raízes na fronteira imaginária (ou seja, (1+K)(jomega)^2 + (6-4K)(jomega) + (8+20K) = 0 , com parte real zero).
Substituímos (1+K)(-,omega^2) + j,(6-4K),omega + (8+20K) = 0 na equação:
-(1+K),omega^2 + (8+20K) = 0
Como (6-4K),omega = 0 , isso vira
Agora separamos em partes real e imaginária:
  • Parte real:
  • Parte imaginária:

Passo 4

Da parte imaginária, para não cairmos no caso trivial 6 - 4K = 0 Longrightarrow K = 64 = 1,5 , impomos
-(1+1.5),omega^2 + l(8 + 20cdot1.5r) = 0 Longrightarrow -2.5,omega^2 + 38 = 0 Longrightarrow omega^2 = 382.5 = 15.2
Agora usamos esse na parte real para ver o (só para constar):
Isso confirma que temos e polos em .

Resposta

O valor de boxedK = 1,5 que torna o sistema marginalmente estável é

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