a) Esboce o diagrama do lugar das raizes deste sistema
b) O que se pode dizer sobre a estabilidade deste sistema?
b) O que se pode dizer sobre a estabilidade deste sistema?
Passo 1
Beleza, a questão é sobre lugar das raízes (root locus) de
e depois a gente diz se o sistema em malha fechada é estável ou não.
Conteúdo: teoria de lugar das raízes (onde ficam os polos fechados quando varia ) e critério de estabilidade (Routh-Hurwitz). A gente vai precisar:
Conteúdo: teoria de lugar das raízes (onde ficam os polos fechados quando varia
- achar polos e zeros abertos,
- traçar onde fica o locus no eixo real,
- calcular assíntotas, centro e ângulos,
- checar se alguma raiz cruza o eixo imaginário (usando Routh).
Passo 2
Polos abertos (denominador) e zero aberto (numerador):
– Zero em .
– Polos em e em
.
– Zero em
– Polos em
Como são 3 polos e 1 zero, teremos 3 ramos de locus:
- Um ramo que sai de
e vai até o zero em . - Dois ramos que saem de
e vão para o infinito (assíntotas).
Passo 3
Lugar no eixo real: conta-se, para um ponto real
, quantos polos+zeros estão à direita:
– Segmento tem só o polo em
à direita ⇒ 1 (ímpar) ⇒ locus ocorre ali.
– Em qualquer outro trecho real não tem número ímpar ⇒ não passa locus.
Logo, o ramo real conecta a
.
– Segmento
– Em qualquer outro trecho real não tem número ímpar ⇒ não passa locus.
Logo, o ramo real conecta
Passo 4
Assíntotas (para os 2 ramos indo ao infinito):
– Número de polos , zeros
, então
assíntotas.
– Centroide
– Ângulos , ou seja
e
.
– Número de polos
– Centroide
– Ângulos
Então os ramos complexos saem de
e, afastando-se, seguem verticalmente do ponto
.
Passo 5
Agora, estabilidade em malha fechada: a equação característica é
Montamos a tabela de Routh:
s^3: 1 28+K
s^2: 9 20+2K
s^1: 0
s^0: 20+2K
s^2: 9 20+2K
s^1:
s^0: 20+2K
Para estabilidade todas entradas da primeira coluna >0:
1>0, 9>0, ,
e .
1>0, 9>0,
e
Como normalmente escolhemos
, todas as condições ficam satisfeitas.
Resposta
Esboço do lugar das raízes:
- Ramo real entre
e . - Dois ramos complexos saindo de
e indo para o infinito pelas assíntotas de centro e ângulos , .
Estabilidade: o sistema em malha fechada é estável para todo
.