G(s)=K(s+2)(s+1)(s^2+8 s+20)
a) Esboce o diagrama do lugar das raizes deste sistema
b) O que se pode dizer sobre a estabilidade deste sistema?

Passo 1

Beleza, a questão é sobre lugar das raízes (root locus) de
G(s) ;=;K,(s+2)(s+1)(s^2+8s+20)
e depois a gente diz se o sistema em malha fechada é estável ou não.
Conteúdo: teoria de lugar das raízes (onde ficam os polos fechados quando varia ) e critério de estabilidade (Routh-Hurwitz). A gente vai precisar:
  1. achar polos e zeros abertos,
  2. traçar onde fica o locus no eixo real,
  3. calcular assíntotas, centro e ângulos,
  4. checar se alguma raiz cruza o eixo imaginário (usando Routh).

Passo 2

Polos abertos (denominador) e zero aberto (numerador):
– Zero em .
– Polos em e em .
Como são 3 polos e 1 zero, teremos 3 ramos de locus:
  • Um ramo que sai de e vai até o zero em .
  • Dois ramos que saem de e vão para o infinito (assíntotas).

Passo 3

Lugar no eixo real: conta-se, para um ponto real , quantos polos+zeros estão à direita:
– Segmento tem só o polo em à direita ⇒ 1 (ímpar) ⇒ locus ocorre ali.
– Em qualquer outro trecho real não tem número ímpar ⇒ não passa locus.
Logo, o ramo real conecta a .

Passo 4

Assíntotas (para os 2 ramos indo ao infinito):
– Número de polos , zeros , então assíntotas.
– Centroide
– Ângulos , ou seja e .
Então os ramos complexos saem de e, afastando-se, seguem verticalmente do ponto .

Passo 5

Agora, estabilidade em malha fechada: a equação característica é
1+G(s)=0 ;;Longrightarrow;; (s+1)(s^2+8s+20)+K(s+2)=0
Rightarrow s^3+9s^2+28s+20 ;+;K(s+2)=0 ;;Longrightarrow;; s^3+9s^2+(28+K),s+(20+2K)=0
Montamos a tabela de Routh:
s^3: 1       28+K
s^2: 9      20+2K
s^1:    0
s^0: 20+2K
Para estabilidade todas entradas da primeira coluna >0:
1>0, 9>0, ,
e .
Como normalmente escolhemos , todas as condições ficam satisfeitas.

Resposta

Esboço do lugar das raízes:
  • Ramo real entre e .
  • Dois ramos complexos saindo de e indo para o infinito pelas assíntotas de centro e ângulos , .
Estabilidade: o sistema em malha fechada é estável para todo .

Exercícios relacionados