G(s)=K(s+1)(s+3)(s+2)
a) Esboce o lugar das raizes.
b) Analise a estabilidade deste sistema.
c) Quais as condições para que este sistema opere com oscilações mantidas?

Passo 1

Beleza, cara! O enunciado pede três coisas sobre o sistema de malha fechada com
G(s)=K,(s+1)(s+3)(s+2),
a) Esboçar o lugar das raízes (root locus)
b) Verificar se o sistema é estável conforme o ganho
c) Encontrar quando ele entra em oscilações sustentadas
Pra isso a gente vai usar teoria de root locus (regras básicas de onde os ramos nascem e terminam), critério de estabilidade (coeficientes do polinômio ou Routh) e condição de polos puramente imaginários (oscilações mantidas).

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica em malha fechada:
1 + G(s) = 0 ⇔
$$1 + \frac{K,(s+1)}{(s+3)(s+2)}=0
\quad\Longrightarrow\quad (s+3)(s+2)+K(s+1)=0 1 + K,(s+1)(s+3)(s+2)=0 Longrightarrow (s+3)(s+2)+K(s+1)=0s^2+5s+6 ;+;K,s+K = 0
\quad\Longrightarrow\quad s^2 + (5+K),s + (6+K)=0.$$
Regras rápidas de root locus:
1) Polos abrem em s^2+5s+6 ;+;K,s+K = 0 Longrightarrow s^2 + (5+K),s + (6+K)=0 e . Zero em .
2) Há 2 ramos. Um vai de até o zero em , outro vai de até o infinito.
3) No eixo real, o locus existe onde há número ímpar de polos/zeros à direita:
- De até
- Entre e
Desenha aí duas linhas horizontais nesses segmentos, um ramo sai de e vai pro , o outro sai de e vai pro infinito.

Passo 3

Pra saber estabilidade, olha os coeficientes do polinômio
s^2 + a1 s + a0 =0
com e . Regra de estabilidade (Routh ou teste de sinais):
-
-
A condição mais restrita é . Ou seja, para ambos os polos ficam no semiplano esquerdo e o sistema é estável.

Passo 4

Pra ter oscilações mantidas (polos puramente imaginários do tipo s^2 + a1 s + a0=0) num polinômio quadrático
a1=5+K=0 ;Longrightarrow; K=-5,
precisamos de a0=6+K=1>0 e . Aqui:
e

Então, em o sistema tem polos em , gerando oscilações sustentadas de frequência  rad/s.

Resposta

a) Root locus: ramos em e →infinito (com zero em ).
b) Sistema estável para .
c) Oscilações sustentadas ocorrem quando , com polos em .

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