a) Esboce o lugar das raizes.
b) Analise a estabilidade deste sistema.
c) Quais as condições para que este sistema opere com oscilações mantidas?
b) Analise a estabilidade deste sistema.
c) Quais as condições para que este sistema opere com oscilações mantidas?
Passo 1
Beleza, cara! O enunciado pede três coisas sobre o sistema de malha fechada com
a) Esboçar o lugar das raízes (root locus)
b) Verificar se o sistema é estável conforme o ganho
c) Encontrar quando ele entra em oscilações sustentadas
Pra isso a gente vai usar teoria de root locus (regras básicas de onde os ramos nascem e terminam), critério de estabilidade (coeficientes do polinômio ou Routh) e condição de polos puramente imaginários (oscilações mantidas).
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica em malha fechada:
1 + G(s) = 0 ⇔
1 + G(s) = 0 ⇔
$$1 + \frac{K,(s+1)}{(s+3)(s+2)}=0
\quad\Longrightarrow\quad (s+3)(s+2)+K(s+1)=0
s^2+5s+6 ;+;K,s+K = 0
\quad\Longrightarrow\quad s^2 + (5+K),s + (6+K)=0.$$
Regras rápidas de root locus:
1) Polos abrem em e
. Zero em
.
2) Há 2 ramos. Um vai de até o zero em
, outro vai de
até o infinito.
3) No eixo real, o locus existe onde há número ímpar de polos/zeros à direita:
- De até
- Entre e
Regras rápidas de root locus:
1) Polos abrem em
2) Há 2 ramos. Um vai de
3) No eixo real, o locus existe onde há número ímpar de polos/zeros à direita:
- De
- Entre
Desenha aí duas linhas horizontais nesses segmentos, um ramo sai de
e vai pro
, o outro sai de
e vai pro infinito.
Passo 3
Pra saber estabilidade, olha os coeficientes do polinômio
com
-
-
A condição mais restrita é
. Ou seja, para
ambos os polos ficam no semiplano esquerdo e o sistema é estável.
Passo 4
Pra ter oscilações mantidas (polos puramente imaginários do tipo
) num polinômio quadrático
precisamos de
e
Então, em
Resposta
a) Root locus: ramos em
→
→
e
→infinito (com zero em
).
b) Sistema estável para .
c) Oscilações sustentadas ocorrem quando , com polos em
.
b) Sistema estável para
c) Oscilações sustentadas ocorrem quando