G(s)=K(s^2-4 s+8)(s^2+5 s+6)(s^2+2 s+5)
a) Construa, passo a passo, o lugar geométrico das raizes deste sistema. Caso haja dificuldade para determinar algum elemento, deixe-o indicado.
b) O que se pode dizer sobre a estabilidade deste sistema?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui.
Você apresentou a função de transferência em malha aberta
G(s)=K,(s^2 - 4s + 8)(s^2+5s+6),(s^2+2s+5),
A matéria é Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) e estabilidade de sistemas de controle.
Para resolver a parte (a) vamos precisar:
1. Identificar polos e zeros de .
2. Determinar quais partes do eixo real pertencem ao LGR.
3. Calcular assimptotas (quantas, ângulos e centróide).
4. Se possível, achar pontos de breakaway/break-in e ângulos de partida em polos complexos.
5. Traçar qualitativamente o lugar das raízes.
Para a parte (b) vamos usar o próprio LGR e ver se, ao variar , algum ramo invade o semiplano direito.

Passo 2

Encontrar polos e zeros de .
  • Zeros: resolvemos
    .
    Então temos dois zeros em (no semiplano direito!).
  • Polos: fatoramos

    , ou seja polos em .
    Logo, polos em e .

Passo 3

Segmentos do eixo real que pertencem ao LGR. Regra: num ponto real temos LGR se à direita dele houver um número ímpar de polos+zeros reais.
  • Para : à direita estão e → 2 (par) → não pertence.
  • Entre e : à direita está só → 1 (ímpar) → pertence!
  • Para (até 0): à direita não há polos reais → 0 (par) → não pertence.
Então no eixo real o LGR fica apenas no intervalo .

Passo 4

Assimptotas do LGR para sigmaa = sum polos - sum zerosp-z = (-3)+(-2)+(-1+j2)+(-1-j2);-;(2+j2)-(2-j2)2 = -6;-;42 = -5 .
  • Número de polos , número de zeros , logo ramos que vão para infinito são .
  • Ângulos das assimptotas: , ou seja e .
  • Centróide:
Então as duas assimptotas saem do ponto apontando verticalmente pra cima e pra baixo.

Passo 5

Breakaway/break-in no eixo real em .
Para achar o ponto exato, normalmente se resolve
,
mas isso dá conta quadrática complicada.
Podemos deixar indicado que existe um único ponto de break-away entre e , onde os dois polos reais se juntam e depois se afastam (um vai para cada assimptota).

Passo 6

Ângulo de partida em polos complexos .
Para cada polo complexo calculamos o ângulo total das distâncias até zeros e polos, e definimos o ângulo de partida para que a soma seja (regra de ângulo do LGR).
O cálculo exato é meio trabalhoso, então podemos indicar: “calcule em para achar o ângulo de saída”.

Passo 7

Traçado qualitativo do LGR:
  1. Dois ramos partem de e , se encontram num ponto de break-away entre eles, depois seguem para as assimptotas em .
  2. Dois ramos partem de , saem com os ângulos calculados e vão terminar nos zeros em .
  3. No eixo real só existe o trecho .
(Desenhe um esboço com polos marcados em “×” e zeros em “○”, trace conforme os passos acima.)

Passo 8

Análise de estabilidade (parte b).
  • Enquanto todos os polos fechados estiverem no semiplano esquerdo (Re ), o sistema é estável.
  • Observe que dois ramos do LGR vão terminar nos zeros em (que ficam no semiplano direito). Então, para certo valor de , esses ramos cruzam o eixo imaginário e geram polos fechados em Re .
  • Logo, existe um ganho crítico í a partir do qual o sistema fica instável. Para í ele pode ser estável; para maior que esse valor, fica instável.

Resposta

a) Seguindo os passos acima, o Lugar Geométrico das Raízes tem:
  • Polos em e zeros em .
  • LGR no eixo real só em .
  • Duas assimptotas a saindo do ponto .
  • Dois ramos vão de para as assimptotas e dois ramos de para .
b) O sistema será estável para valores de abaixo de um ganho crítico, mas, à medida que aumenta, dois ramos invadem o semiplano direito (vão até os zeros em ), tornando o sistema instável para acima desse valor.

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