a) Construa, passo a passo, o lugar geométrico das raizes deste sistema. Caso haja dificuldade para determinar algum elemento, deixe-o indicado.
b) O que se pode dizer sobre a estabilidade deste sistema?
b) O que se pode dizer sobre a estabilidade deste sistema?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui.
Você apresentou a função de transferência em malha aberta
Você apresentou a função de transferência em malha aberta
A matéria é Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) e estabilidade de sistemas de controle.
Para resolver a parte (a) vamos precisar:
1. Identificar polos e zeros de
2. Determinar quais partes do eixo real pertencem ao LGR.
3. Calcular assimptotas (quantas, ângulos e centróide).
4. Se possível, achar pontos de breakaway/break-in e ângulos de partida em polos complexos.
5. Traçar qualitativamente o lugar das raízes.
Para a parte (b) vamos usar o próprio LGR e ver se, ao variar
Passo 2
Encontrar polos e zeros de
.
- Zeros: resolvemos
.
Então temos dois zeros em(no semiplano direito!). - Polos: fatoramos
, ou seja polos em .
Logo, polos eme .
Passo 3
Segmentos do eixo real que pertencem ao LGR. Regra: num ponto real
temos LGR se à direita dele houver um número ímpar de polos+zeros reais.
- Para
: à direita estão e → 2 (par) → não pertence. - Entre
e : à direita está só → 1 (ímpar) → pertence! - Para
(até 0): à direita não há polos reais → 0 (par) → não pertence.
Então no eixo real o LGR fica apenas no intervalo
.
Passo 4
Assimptotas do LGR para
.
- Número de polos
, número de zeros , logo ramos que vão para infinito são . - Ângulos das assimptotas:
, ou seja e . - Centróide:
Então as duas assimptotas saem do ponto
apontando verticalmente pra cima e pra baixo.
Passo 5
Breakaway/break-in no eixo real em
.
Para achar o ponto exato, normalmente se resolve
,
mas isso dá conta quadrática complicada.
Podemos deixar indicado que existe um único ponto de break-away entre e
, onde os dois polos reais se juntam e depois se afastam (um vai para cada assimptota).
Para achar o ponto exato, normalmente se resolve
mas isso dá conta quadrática complicada.
Podemos deixar indicado que existe um único ponto de break-away entre
Passo 6
Ângulo de partida em polos complexos
.
Para cada polo complexo calculamos o ângulo total das distâncias até zeros e polos, e definimos o ângulo de partida para que a soma seja (regra de ângulo do LGR).
O cálculo exato é meio trabalhoso, então podemos indicar: “calcule em
para achar o ângulo de saída”.
Para cada polo complexo calculamos o ângulo total das distâncias até zeros e polos, e definimos o ângulo de partida para que a soma seja
O cálculo exato é meio trabalhoso, então podemos indicar: “calcule
Passo 7
Traçado qualitativo do LGR:
- Dois ramos partem de
e , se encontram num ponto de break-away entre eles, depois seguem para as assimptotas em . - Dois ramos partem de
, saem com os ângulos calculados e vão terminar nos zeros em . - No eixo real só existe o trecho
.
(Desenhe um esboço com polos marcados em “×” e zeros em “○”, trace conforme os passos acima.)
Passo 8
Análise de estabilidade (parte b).
- Enquanto todos os polos fechados estiverem no semiplano esquerdo (Re
), o sistema é estável. - Observe que dois ramos do LGR vão terminar nos zeros em
(que ficam no semiplano direito). Então, para certo valor de , esses ramos cruzam o eixo imaginário e geram polos fechados em Re . - Logo, existe um ganho crítico
a partir do qual o sistema fica instável. Para ele pode ser estável; para maior que esse valor, fica instável.
Resposta
a) Seguindo os passos acima, o Lugar Geométrico das Raízes tem:
- Polos em
e zeros em . - LGR no eixo real só em
. - Duas assimptotas a
saindo do ponto . - Dois ramos vão de
para as assimptotas e dois ramos de para .
b) O sistema será estável para valores de
abaixo de um ganho crítico, mas, à medida que
aumenta, dois ramos invadem o semiplano direito (vão até os zeros em
), tornando o sistema instável para
acima desse valor.