a) Construa, passo a passo o diagrama do lugar das raizes deste sistema. Caso dificuldade para determinar algum elemento, deixe-o indicado.
b) Quais as condições para que este sistema tenha polos reais e negativos.
b) Quais as condições para que este sistema tenha polos reais e negativos.
Passo 1
Beleza, o exercício é sobre Lugar das Raízes (LGR) de um sistema em malha fechada cujo ganho variável está dentro de
Ou seja, a gente vai desenhar o LGR (as linhas que mostram onde andam os polos fechados quando o
O que vamos precisar:
- Identificar polos e zeros abertos.
- Determinar quais trechos do eixo real pertencem ao LGR.
- Encontrar as assíntotas (centro e ângulos).
- Se der, achar pontos de ruptura no eixo real.
- Usar Routh para achar faixa de
que garante todos os polos com parte real negativa.
Passo 2
Primeiro, listamos os polos abertos (zeros não existem, já que não há numerador em
diferente de
):
- polo em
- polo em
- polos de
, que são
Então temos 4 polos abertos: um na origem, um em
e um par complexo em
.
Passo 3
Agora, no eixo real, a regra é: um ponto
está no LGR se, contanto da direita para ele, houver número ímpar de polos/zeros.
- Para
: à direita só tem a origem, então 1 → ímpar → mas esse raios (para ) não interessam porque o sistema nunca vai pra . - Entre
e 0: à direita está 0, mas não conta o polo em (pois é exatamente no limite). Então fica 1 → ímpar → temos LGR nesse trecho. - Para
: à direita temos polos em 0 e em → 2 → par → sem LGR.
Conclusão: o único segmento real do LGR é entree 0.
Passo 4
Assíntotas: como temos
polos e
zeros, há
ramos que vão para o infinito. O centro delas é
Os ângulos das assíntotas são
Então, a partir de
, quatro ramos saem formando essas direções (dois em “diagonal pra cima/baixo” e dois em “diagonal pra esquerda”).
Passo 5
Ponto de ruptura no eixo real (entre
e 0): a gente resolveria
mas isso dá um polinômio de 4ª grau meio chatinho. Se for muito trabalhoso, pode indicar que existe um break-away entre
e 0, sem achar o valor exato.
Passo 6
Visão geral do LGR:
- Em
, os polos fechados são os mesmos do aberto: . - Conforme
cresce, o polo em 0 e o de “caminham” no eixo real e se encontram num break-away (entre e 0), de onde se afastam para formar um par de conjugados complexos. - Os outros dois polos complexos (que já começam em
) vão indo em direção às assíntotas de 45° e 315° a partir de . - No total, quatro ramos que tendem a
nas direções calculadas.
(Diagrama aproximado:
- um ramo real entre 0 e -4 até o break-away,
- três ramos complexos saindo dos polos originais seguindo as assíntotas)
Passo 7
Parte (b): “condições para que o sistema tenha polos reais e negativos” – aqui interpretamos como “condição para estabilidade: todos os polos em LHP”.
A equação característica é
A equação característica é
Expandindo,
Vamos usar Routh–Hurwitz rápido:
Grau | Coeficientes |
---|---|
s^4 | 1 64 |
s^3 | 12 128 |
s^2 |
|
s^1 |
|
s^0 |
|
Para todos os termos da primeira coluna positivos, precisamos:
-
e (já OK) -
-
.
Resposta
Condição para todos os polos fechados ficarem com parte real negativa (isto é, sistema estável) é