K G(s) H(s)=Ks(s+4)(s^2+8 s+32)
a) Construa, passo a passo o diagrama do lugar das raizes deste sistema. Caso dificuldade para determinar algum elemento, deixe-o indicado.
b) Quais as condições para que este sistema tenha polos reais e negativos.

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre Lugar das Raízes (LGR) de um sistema em malha fechada cujo ganho variável está dentro de
K,G(s)H(s);=;Ks,(s+4),l(s^2+8s+32r),
Ou seja, a gente vai desenhar o LGR (as linhas que mostram onde andam os polos fechados quando o varia de 0 até ). Depois, na parte (b), pedem “quais as condições para que esse sistema tenha polos reais e negativos” – na prática isso significa usar o critério de Routh-Hurwitz para achar para quais valores de todos os polos fechados ficam no semiplano esquerdo (parte real negativa).
O que vamos precisar:
  1. Identificar polos e zeros abertos.
  2. Determinar quais trechos do eixo real pertencem ao LGR.
  3. Encontrar as assíntotas (centro e ângulos).
  4. Se der, achar pontos de ruptura no eixo real.
  5. Usar Routh para achar faixa de que garante todos os polos com parte real negativa.

Passo 2

Primeiro, listamos os polos abertos (zeros não existem, já que não há numerador em s=-4pm j4 diferente de ):
  • polo em
  • polo em
  • polos de , que são
Então temos 4 polos abertos: um na origem, um em e um par complexo em .

Passo 3

Agora, no eixo real, a regra é: um ponto está no LGR se, contanto da direita para ele, houver número ímpar de polos/zeros.
  • Para : à direita só tem a origem, então 1 → ímpar → mas esse raios (para ) não interessam porque o sistema nunca vai pra .
  • Entre e 0: à direita está 0, mas não conta o polo em (pois é exatamente no limite). Então fica 1 → ímpar → temos LGR nesse trecho.
  • Para : à direita temos polos em 0 e em → 2 → par → sem LGR.
    Conclusão: o único segmento real do LGR é entre e 0.

Passo 4

Assíntotas: como temos sigmaa ;=;sum pólos - sum zeros4-0 ;=;(0)+(-4)+(-4+j4)+(-4-j4)4 ;=;-124=-3 polos e phik ;=;(2k+1),180^circ4 k=0,1,2,3 ;Rightarrow; 45^circ,;135^circ,;225^circ,;315^circ zeros, há ramos que vão para o infinito. O centro delas é
ó
Os ângulos das assíntotas são
Então, a partir de , quatro ramos saem formando essas direções (dois em “diagonal pra cima/baixo” e dois em “diagonal pra esquerda”).

Passo 5

Ponto de ruptura no eixo real (entre ddsl[,1+K,G(s)H(s)r];=;0 com 1+K,G(s)H(s)=0, e 0): a gente resolveria
mas isso dá um polinômio de 4ª grau meio chatinho. Se for muito trabalhoso, pode indicar que existe um break-away entre e 0, sem achar o valor exato.

Passo 6

Visão geral do LGR:
  • Em , os polos fechados são os mesmos do aberto: .
  • Conforme cresce, o polo em 0 e o de “caminham” no eixo real e se encontram num break-away (entre e 0), de onde se afastam para formar um par de conjugados complexos.
  • Os outros dois polos complexos (que já começam em ) vão indo em direção às assíntotas de 45° e 315° a partir de .
  • No total, quatro ramos que tendem a nas direções calculadas.
(Diagrama aproximado:
  • um ramo real entre 0 e -4 até o break-away,
  • três ramos complexos saindo dos polos originais seguindo as assíntotas)

Passo 7

Parte (b): “condições para que o sistema tenha polos reais e negativos” – aqui interpretamos como “condição para estabilidade: todos os polos em LHP”.
A equação característica é
1+K,G(s)H(s)=0 ;Longrightarrow; s(s+4)(s^2+8s+32)+K=0
Expandindo,
s^4+12s^3+64s^2+128s+K=0
Vamos usar Routh–Hurwitz rápido:
Grau Coeficientes
s^4 1 64
s^3 12 128
s^2
s^1 0
s^0
Para todos os termos da primeira coluna positivos, precisamos:
  1. e (já OK)
  2. .

Resposta

Condição para todos os polos fechados ficarem com parte real negativa (isto é, sistema estável) é
0 < K < 568.9

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