G(s)=s+28-4 s+s^2
a) Construa, passo a passo, o lugar das raízes deste sistema (caso haja dificuldade para determinar algum elemento, deixe-o indicado).
b) O que se pode dizer sobre a estabilidade deste sistema em relação aos valores do parâmetro K (ganho do controlador)?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é montar o lugar das raízes (root locus) do sistema em malha fechada com ganho K, sendo
G(s)=s+2s^2-4s+8
Isso faz parte de um tópico de Controle Clássico: vamos precisar de conceitos de polos e zeros, regras do lugar das raízes (onde caem as raízes conforme K varia), assim como critério de estabilidade (Routh–Hurwitz) para saber pra quais K o sistema é estável.

Passo 2

Antes de mais nada, identifica polos e zeros de G(s):
– Zero: a solução de s+2=0;Rightarrow;s=-2.
– Polos: as raízes de s^2-4s+8=0;
Usando a fórmula:
s=4pmraiz16-322=4pm j42=2pm j2,
Então os polos estão em 2pm j2.

Passo 3

Desenha esses pontos no plano s:
– Um zero em s=-2 (eixo real).
– Dois polos em 2pm j2 (fora do eixo real).
Por regra, o número de ramos do locus é igual ao número de polos (aqui 2). Como temos só 1 zero, um ramo vai terminar no zero real -2 e o outro vai para o “infinito” seguindo um dos assíntotas.

Passo 4

Descobre as assíntotas:
– Número de assíntotas = polos−zeros = 2−1 =1.
– Ângulo dessa assíntota = (2k+1)·180°/(1) = 180°. Ou seja, ela vai para a esquerda no eixo real.
– Centroide da assíntota = (soma dos polos − soma dos zeros)/(polos−zeros)
= (2+2)-(-2)1=6,
Logo, a assíntota parte de s=6 e vai para -infty no eixo real.

Passo 5

Define onde o locus existe no eixo real:
Marcamos no eixo real apenas o zero em -2.
– Para o intervalo (-infty,,-2) há um ponto de zero, logo “número ímpar” ⇒ locus está aí.
– Entre -2 e +infty não tem ponto real ⇒ nada do locus.
Conclusão do root locus (resumindo):
  1. Um ramo sai de cada polo complexo em 2pm j2.
  2. Esses ramos correm, um deles termina em s=-2, o outro segue até o infinito pela assíntota de centro em 6 e ângulo 180°.
  3. No eixo real, só há ramo de -infty até -2,.

Passo 6

Agora, estabilidade em função de K. A equação característica em malha fechada é
1+K,G(s)=0Longrightarrow s^2-4s+8+K(s+2)=0
ou seja
s^2+(K-4)s+(8+2K)=0,
Vamos usar Routh–Hurwitz (para 2º grau basta ver os coeficientes):
  1. Coeficiente de s^2: 1 >0 sempre.
  2. Coeficiente de s^1: (K-4)>0;Rightarrow;K>4.
  3. Coeficiente de s^0: 8+2K>0;Rightarrow;K>-4,.
Só que, além de todos esses termos positivos, precisamos garantir que o “termo do meio” na tabela de Routh não mude o sinal – e esse termo dá:
(K-4)cdot1 -1cdot(8+2K)K-4=-K-12K-4,
Para todo K, ou ele ou algum dos coeficientes principais vira negativo. Testando intervalos, não há valor de K real que deixe tudo positivo ao mesmo tempo.

Resposta

Não existe valor real de K que torne o sistema estável em malha fechada. O lugar das raízes mostra sempre pelo menos um ramo indo para a região direita ou cruzando o eixo imaginário, e a análise de Routh confirma que para nenhum K todos os critérios de estabilidade são satisfeitos.

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