a) Construa, passo a passo, o lugar das raízes deste sistema (caso haja dificuldade para determinar algum elemento, deixe-o indicado).
b) O que se pode dizer sobre a estabilidade deste sistema em relação aos valores do parâmetro K (ganho do controlador)?
b) O que se pode dizer sobre a estabilidade deste sistema em relação aos valores do parâmetro K (ganho do controlador)?
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é montar o lugar das raízes (root locus) do sistema em malha fechada com ganho K, sendo
Isso faz parte de um tópico de Controle Clássico: vamos precisar de conceitos de polos e zeros, regras do lugar das raízes (onde caem as raízes conforme K varia), assim como critério de estabilidade (Routh–Hurwitz) para saber pra quais K o sistema é estável.
Passo 2
Antes de mais nada, identifica polos e zeros de
:
– Zero: a solução de .
– Polos: as raízes de
– Zero: a solução de
– Polos: as raízes de
Usando a fórmula:
Então os polos estão em
Passo 3
Desenha esses pontos no plano
:
– Um zero em (eixo real).
– Dois polos em (fora do eixo real).
Por regra, o número de ramos do locus é igual ao número de polos (aqui 2). Como temos só 1 zero, um ramo vai terminar no zero real e o outro vai para o “infinito” seguindo um dos assíntotas.
– Um zero em
– Dois polos em
Por regra, o número de ramos do locus é igual ao número de polos (aqui 2). Como temos só 1 zero, um ramo vai terminar no zero real
Passo 4
Descobre as assíntotas:
– Número de assíntotas = polos−zeros = 2−1 =1.
– Ângulo dessa assíntota = (2k+1)·180°/(1) = 180°. Ou seja, ela vai para a esquerda no eixo real.
– Centroide da assíntota = (soma dos polos − soma dos zeros)/(polos−zeros)
– Número de assíntotas = polos−zeros = 2−1 =1.
– Ângulo dessa assíntota = (2k+1)·180°/(1) = 180°. Ou seja, ela vai para a esquerda no eixo real.
– Centroide da assíntota = (soma dos polos − soma dos zeros)/(polos−zeros)
=
Logo, a assíntota parte de e vai para
no eixo real.
Logo, a assíntota parte de
Passo 5
Define onde o locus existe no eixo real:
Marcamos no eixo real apenas o zero em .
– Para o intervalo há um ponto de zero, logo “número ímpar” ⇒ locus está aí.
– Entre e
não tem ponto real ⇒ nada do locus.
Marcamos no eixo real apenas o zero em
– Para o intervalo
– Entre
Conclusão do root locus (resumindo):
- Um ramo sai de cada polo complexo em
. - Esses ramos correm, um deles termina em
, o outro segue até o infinito pela assíntota de centro em 6 e ângulo 180°. - No eixo real, só há ramo de
até .
Passo 6
Agora, estabilidade em função de K. A equação característica em malha fechada é
ou seja
Vamos usar Routh–Hurwitz (para 2º grau basta ver os coeficientes):
- Coeficiente de
: 1 >0 sempre. - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Só que, além de todos esses termos positivos, precisamos garantir que o “termo do meio” na tabela de Routh não mude o sinal – e esse termo dá:
Para todo K, ou ele ou algum dos coeficientes principais vira negativo. Testando intervalos, não há valor de K real que deixe tudo positivo ao mesmo tempo.
Resposta
Não existe valor real de K que torne o sistema estável em malha fechada. O lugar das raízes mostra sempre pelo menos um ramo indo para a região direita ou cruzando o eixo imaginário, e a análise de Routh confirma que para nenhum K todos os critérios de estabilidade são satisfeitos.