Sejam G um grupo finito e p \in \mathbb{P}. Se x^{p}=e para todo x \in G, então mostre que existe k \in \mathbb{N} tal que |G|=1+k(p-1).

Passo 1

O enunciado dá um grupo finito G e um primo p tais que x^{p}=e para todo x\in G. A tarefa é mostrar que existe k\in\mathbb{N} tal que
|G|=1+k(p-1).
Informações relevantes fornecidas:
  • G é finito.
  • p é primo.
  • Para todo x\in G vale x^{p}=e (onde e é o elemento neutro).
    O que se pede: provar que o número de elementos de G tem a forma 1+k(p-1) para algum k\in\mathbb{N}.

Passo 2

Definição e propriedade básica que vamos usar: para x\in G, o ordem de x, denotada \mathrm{ord}(x), é o menor inteiro positivo n tal que x^{n}=e. Se existe algum m>0 com x^{m}=e, então sempre vale \mathrm{ord}(x)\mid m. Explicando isso rapidamente: escrevendo m=q\cdot \mathrm{ord}(x)+r com 0\le r<\mathrm{ord}(x), tem-se x^{m}=x^{r}; como x^{m}=e e \mathrm{ord}(x) é o menor expoente que dá e, segue r=0, logo \mathrm{ord}(x)\mid m.
Aqui aplicamos essa propriedade com m=p: como x^{p}=e para todo x, então \mathrm{ord}(x)\mid p.

Passo 3

Como p é primo, os divisores positivos de p são apenas 1 e p. Assim para cada x\in G temos \mathrm{ord}(x)\in\{1,p\}. O caso \mathrm{ord}(x)=1 significa x=e. Portanto todo elemento x\neq e tem \mathrm{ord}(x)=p.

Passo 4

Conseqüência: se x\neq e então o subgrupo cíclico gerado por x, denotado \langle x\rangle, tem exatamente p elementos (pois |\langle x\rangle|=\mathrm{ord}(x)=p). Note que cada \langle x\rangle contém p-1 elementos distintos diferentes de e.
Agora uma observação importante sobre interseção: duas subgrupos cíclicos de ordem p que tenham algum elemento não neutro em comum são iguais. De fato, se \langle x\rangle e \langle y\rangle contêm um mesmo z\neq e, então \langle z\rangle\subseteq\langle x\rangle e \langle z\rangle\subseteq\langle y\rangle, mas \langle z\rangle tem ordem p, então \langle z\rangle=\langle x\rangle=\langle y\rangle. Assim subgrupos distintos de ordem p têm interseção \{e\}.

Passo 5

Contagem dos elementos de G: os elementos de G são o neutro e mais todos os elementos não neutros, e esses últimos se agrupam em classes disjuntas, cada classe sendo o conjunto dos p-1 elementos não neutros de um subgrupo cíclico de ordem p. Se houver k subgrupos cíclicos distintos de ordem p, então o número total de elementos de G é
|G| = 1 + k(p-1).
Aqui k é um inteiro não-negativo (de fato positivo se G\neq\{e\}), logo k\in\mathbb{N}.

Passo 6

Resumo final e ânimo: mostramos que todos os elementos não neutros têm ordem p, que tais elementos se organizam em subgrupos cíclicos disjuntos de tamanho p, e contando esses blocos obtemos a forma desejada para |G|. Força nos estudos — essa contagem por subgrupos cíclicos é um truque que cai bastante em provas.

Resposta

|G|=1+k(p-1) com k\in\mathbb{N}.

Exercícios relacionados