Sejam
um grupo finito e
. Se
para todo
, então mostre que existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá um grupo finito
e um primo
tais que
para todo
. A tarefa é mostrar que existe
tal que
Informações relevantes fornecidas:
-
é finito. -
é primo. - Para todo
vale (onde é o elemento neutro).
O que se pede: provar que o número de elementos detem a forma para algum .
Passo 2
Definição e propriedade básica que vamos usar: para
, o ordem de
, denotada
, é o menor inteiro positivo
tal que
. Se existe algum
com
, então sempre vale
. Explicando isso rapidamente: escrevendo
com
, tem-se
; como
e
é o menor expoente que dá
, segue
, logo
.
Aqui aplicamos essa propriedade com
: como
para todo
, então
.
Passo 3
Como
é primo, os divisores positivos de
são apenas
e
. Assim para cada
temos
. O caso
significa
. Portanto todo elemento
tem
.
Passo 4
Conseqüência: se
então o subgrupo cíclico gerado por
, denotado
, tem exatamente
elementos (pois
). Note que cada
contém
elementos distintos diferentes de
.
Agora uma observação importante sobre interseção: duas subgrupos cíclicos de ordem
que tenham algum elemento não neutro em comum são iguais. De fato, se
e
contêm um mesmo
, então
e
, mas
tem ordem
, então
. Assim subgrupos distintos de ordem
têm interseção
.
Passo 5
Contagem dos elementos de
: os elementos de
são o neutro
mais todos os elementos não neutros, e esses últimos se agrupam em classes disjuntas, cada classe sendo o conjunto dos
elementos não neutros de um subgrupo cíclico de ordem
. Se houver
subgrupos cíclicos distintos de ordem
, então o número total de elementos de
é
Aqui
é um inteiro não-negativo (de fato positivo se
), logo
.
Passo 6
Resumo final e ânimo: mostramos que todos os elementos não neutros têm ordem
, que tais elementos se organizam em subgrupos cíclicos disjuntos de tamanho
, e contando esses blocos obtemos a forma desejada para
. Força nos estudos — essa contagem por subgrupos cíclicos é um truque que cai bastante em provas.