Mostre que o subconjunto dos elementos de ordem finita de um grupo abeliano forma um subgrupo (subgrupo de torsão). Isso é verdade tabém para grupos não abelianos?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Mostrar que, se
é um grupo abeliano, o conjunto formado pelos elementos de ordem finita de é um subgrupo de . - Dizer se a mesma afirmação vale para grupos não abelianos.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Tem-se um grupo
. - Define-se o conjunto dos elementos de ordem finita (o “subconjunto de torsão”) como
- Precisa-se verificar se
é subgrupo quando é abeliano e analisar o caso geral (não abeliano).
Passo 2
Definições e estratégia (passo-a-passo do que vamos provar):
- Ordem de um elemento: para
, a ordem de é o menor inteiro positivo tal que , quando tal inteiro existe; se não existe, diz-se que tem ordem infinita. - Elemento de torsão = elemento de ordem finita.
- Para provar que
é subgrupo de verificamos três propriedades padrão: -
não é vazio (por exemplo, contém o elemento identidade ); - Fechamento: se
então ; - Fechamento por inversos: se
então .
-
- Vamos verificar cada item com explicações didáticas.
Passo 3
Identidade está em
:
- A identidade
satisfaz , então a ordem de é , que é finita. - Logo
. Isso garante que .
Passo 4
Fechamento por inversos (válido em qualquer grupo, abeliano ou não):
- Seja
e seja a ordem de , isto é, e é o menor inteiro positivo com essa propriedade. - Então
. Portanto tem ordem finita (algum divisor de ); em particular . - Observação didática: inverter uma igualdade de potências dá a potência do inverso porque
sempre.
Passo 5
Fechamento por produto no caso abeliano (a parte crucial que usa comutatividade):
- Seja
. Digamos que a ordem de seja e a ordem de seja ; assim e . - Tome
, o mínimo múltiplo comum de e . Então é múltiplo de e de , logo e . - Porque
é abeliano, e comutam, então
- Assim
satisfaz uma potência positiva igual a , portanto tem ordem finita (divisora de ). Em particular . - Observação didática importante: a igualdade
só é garantia simples quando e comutam. Se não comutarem, não se separa nessa forma e o argumento falha.
Passo 6
Conclusão para o caso abeliano:
- Já mostramos que
contém , que é fechado por inversos e fechado por produto (uso do passo comutativo). Portanto é um subgrupo de . - Em linguagem curta: o conjunto dos elementos de ordem finita de um grupo abeliano forma um subgrupo (chamado subgrupo de torsão).
Passo 7
O que acontece em grupos não abelianos? (contraexemplo que mostra que, em geral, não vale)
- Em geral, sem comutatividade, o fechamento por produto pode falhar. Um contraexemplo clássico é o grupo diedral infinito
:
- Os elementos( ) têm ordem infinita (salvo ).
- Os elementos da formatêm ordem , porque .
- Assim os elementos de torsão emsão exatamente e todos os reflexos .
- Agora calcule o produto de dois reflexos:
- Se
, então tem ordem infinita. Assim o produto de dois elementos de ordem finita (dois reflexos) pode ter ordem infinita, isto é, não pertence a . - Conclusão: no
o conjunto dos elementos de ordem finita não é fechado por produto, portanto não é subgrupo. Logo, em geral, para grupos não abelianos a afirmação é falsa.)
Passo 8
Resumo final e observações rápidas:
- A prova do caso abeliano usa essencialmente a comutatividade para separar potências e aplicar o
. - Em grupos não abelianos pode falhar: o exemplo do diedro infinito mostra explicitamente a falha de fechamento. Note que existem grupos não abelianos em que o conjunto de torsão é subgrupo (por exemplo, em qualquer grupo finito todo elemento tem ordem finita, então
), mas não é verdadeiro em geral.
Resposta
Sim: se
é abeliano, o conjunto
é um subgrupo de
.
Não em geral: para grupos não abelianos a afirmação pode falhar; por exemplo, no grupo diedral infinito
os reflexos
têm ordem
mas o produto de dois reflexos pode ser
de ordem infinita, logo o conjunto de torsão não é subgrupo.