Mostre que o subconjunto dos elementos de ordem finita de um grupo abeliano forma um subgrupo (subgrupo de torsão). Isso é verdade tabém para grupos não abelianos?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Mostrar que, se G é um grupo abeliano, o conjunto formado pelos elementos de ordem finita de G é um subgrupo de G.
  • Dizer se a mesma afirmação vale para grupos não abelianos.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Tem-se um grupo G.
  • Define-se o conjunto dos elementos de ordem finita (o “subconjunto de torsão”) como
T=\{g\in G \mid g \text{ tem ordem finita}\}.
  • Precisa-se verificar se T é subgrupo quando G é abeliano e analisar o caso geral (não abeliano).

Passo 2

Definições e estratégia (passo-a-passo do que vamos provar):
  • Ordem de um elemento: para g\in G, a ordem de g é o menor inteiro positivo m tal que g^{m}=e, quando tal inteiro existe; se não existe, diz-se que g tem ordem infinita.
  • Elemento de torsão = elemento de ordem finita.
  • Para provar que T é subgrupo de G verificamos três propriedades padrão:
    1. T não é vazio (por exemplo, contém o elemento identidade e);
    2. Fechamento: se a,b\in T então ab\in T;
    3. Fechamento por inversos: se a\in T então a^{-1}\in T.
  • Vamos verificar cada item com explicações didáticas.

Passo 3

Identidade está em T:
  • A identidade e satisfaz e^{1}=e, então a ordem de e é 1, que é finita.
  • Logo e\in T. Isso garante que T\neq\varnothing.

Passo 4

Fechamento por inversos (válido em qualquer grupo, abeliano ou não):
  • Seja a\in T e seja m a ordem de a, isto é, a^{m}=e e m é o menor inteiro positivo com essa propriedade.
  • Então (a^{-1})^{m}=(a^{m})^{-1}=e^{-1}=e. Portanto a^{-1} tem ordem finita (algum divisor de m); em particular a^{-1}\in T.
  • Observação didática: inverter uma igualdade de potências dá a potência do inverso porque (x^{-1})^{m}=(x^{m})^{-1} sempre.

Passo 5

Fechamento por produto no caso abeliano (a parte crucial que usa comutatividade):
  • Seja a,b\in T. Digamos que a ordem de a seja m e a ordem de b seja n; assim a^{m}=e e b^{n}=e.
  • Tome k=\operatorname{lcm}(m,n), o mínimo múltiplo comum de m e n. Então k é múltiplo de m e de n, logo a^{k}=e e b^{k}=e.
  • Porque G é abeliano, a e b comutam, então
(ab)^{k}=a^{k}b^{k}=e\cdot e=e.
  • Assim ab satisfaz uma potência positiva igual a e, portanto ab tem ordem finita (divisora de k). Em particular ab\in T.
  • Observação didática importante: a igualdade (ab)^{k}=a^{k}b^{k} só é garantia simples quando a e b comutam. Se não comutarem, (ab)^{k} não se separa nessa forma e o argumento falha.

Passo 6

Conclusão para o caso abeliano:
  • Já mostramos que T contém e, que é fechado por inversos e fechado por produto (uso do passo comutativo). Portanto T é um subgrupo de G.
  • Em linguagem curta: o conjunto dos elementos de ordem finita de um grupo abeliano forma um subgrupo (chamado subgrupo de torsão).

Passo 7

O que acontece em grupos não abelianos? (contraexemplo que mostra que, em geral, não vale)
  • Em geral, sem comutatividade, o fechamento por produto pode falhar. Um contraexemplo clássico é o grupo diedral infinito \,D_{\infty}\,$ com apresentação \[D_{\infty}=\langle r,s \mid s^{2}=e,\; srs=r^{-1}\rangle.\] - Estrutura e ordens dos elementos em \(D_{\infty}:
    - Os elementos r^{n} ( n\in\mathbb{Z}) têm ordem infinita (salvo r^{0}=e).
    - Os elementos da forma sr^{n} têm ordem 2, porque (sr^{n})^{2}=sr^{n}sr^{n}=s(r^{n}s)r^{n}=s(s r^{-n})r^{n}=r^{-n}r^{n}=e.
    - Assim os elementos de torsão em D_{\infty} são exatamente e e todos os reflexos sr^{n}.
    - Agora calcule o produto de dois reflexos:
(sr^{m})(sr^{n})=s r^{m} s r^{n}=(s r^{m} s) r^{n}=r^{-m} r^{n}=r^{\,n-m}.
  • Se n\neq m, então r^{\,n-m} tem ordem infinita. Assim o produto de dois elementos de ordem finita (dois reflexos) pode ter ordem infinita, isto é, não pertence a T.
  • Conclusão: no D_{\infty} o conjunto T dos elementos de ordem finita não é fechado por produto, portanto não é subgrupo. Logo, em geral, para grupos não abelianos a afirmação é falsa.)

Passo 8

Resumo final e observações rápidas:
  • A prova do caso abeliano usa essencialmente a comutatividade para separar potências e aplicar o \operatorname{lcm}.
  • Em grupos não abelianos pode falhar: o exemplo do diedro infinito mostra explicitamente a falha de fechamento. Note que existem grupos não abelianos em que o conjunto de torsão é subgrupo (por exemplo, em qualquer grupo finito todo elemento tem ordem finita, então T=G), mas não é verdadeiro em geral.

Resposta

Sim: se G é abeliano, o conjunto T=\{g\in G\mid g\text{ tem ordem finita}\} é um subgrupo de G.
Não em geral: para grupos não abelianos a afirmação pode falhar; por exemplo, no grupo diedral infinito D_{\infty}=\langle r,s\mid s^{2}=e,\;srs=r^{-1}\rangle os reflexos sr^{n} têm ordem 2 mas o produto de dois reflexos pode ser r^{k} de ordem infinita, logo o conjunto de torsão não é subgrupo.

Exercícios relacionados