h) Utilize L’Hospital para determinar
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x^{n}}
onde n é um natural positivo fixado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x^{n}}
onde n é um natural positivo fixado, usando a Regra de L’Hospital. Vamos precisar saber que, para funções que tendem a \infty/\infty, podemos derivar numerador e denominador até obter um limite fácil de avaliar.

Passo 2

Verificamos que, quando x\to\infty, tanto \log x\to\infty quanto x^n\to\infty, caracterizando a forma indeterminada \infty/\infty. Aplicando L’Hospital, obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x^{n}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{d}{dx}(\log x)}{\dfrac{d}{dx}(x^{n})} =\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{1}{x}}{n\,x^{\,n-1}}.

Passo 3

Simplificando a fração dentro do limite:
\frac{\tfrac{1}{x}}{n\,x^{\,n-1}} =\frac{1}{n}\,\frac{1}{x^{n}}.
Como x^{n}\to\infty quando x\to\infty, fica claro que
\frac{1}{n}\,\frac{1}{x^{n}}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

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