2- Se g(x)=2 x^{3}+7 x-1, mostre que \lim _{x \rightarrow-1} g(x)=g(-1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função g definida por
g(x)=2x^{3}+7x-1.
A pergunta é clara: mostrar que
\lim_{x\to -1} g(x)=g(-1).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de g(x).
  • O ponto em que o limite deve ser calculado: x\to -1.
    Nada mais é pedido além de provar que o limite da função naqueles pontos coincide com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

O que significa provar \lim_{x\to -1} g(x)=g(-1)? Em palavras: ao aproximarmos x de -1, os valores de g(x) se aproximam exatamente do número g(-1). Outra forma prática (usada em provas de cálculo elementar) é mostrar que se pode calcular o limite por substituição direta, isto é, avaliar a expressão de g em x=-1 e obter o mesmo número que o limite. Para justificar a substituição direta usamos propriedades básicas de limites (lin-earidade e limites de funções simples) e o fato de que polinômios são construídos por somas e produtos de potências de x e constantes.
Vou lembrar as leis de limite que usarei (sem demonstração técnica profunda, mas com explicação intuitiva):
  • \displaystyle \lim_{x\to a} \big(f(x)+h(x)\big)=\lim_{x\to a} f(x)+\lim_{x\to a} h(x), se os dois limites existirem (linearidade da soma).
  • \displaystyle \lim_{x\to a} \big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot\lim_{x\to a} f(x) para constante c.
  • \displaystyle \lim_{x\to a} x = a.
  • Para potências inteiras positivas, \displaystyle \lim_{x\to a} x^{n} = a^{n}.
  • \displaystyle \lim_{x\to a} \text{constante} = \text{mesma constante}.
Essas leis permitem calcular o limite de um polinômio pela soma dos limites dos termos.

Passo 3

Aplicando as leis de limite ao polinômio g(x)=2x^{3}+7x-1, escrevemos
\lim_{x\to -1} g(x)=\lim_{x\to -1}\big(2x^{3}+7x-1\big).
Pela linearidade do limite (soma e multiplicação por constante),
\lim_{x\to -1}\big(2x^{3}+7x-1\big)=2\lim_{x\to -1}x^{3}+7\lim_{x\to -1}x-\lim_{x\to -1}1.

Passo 4

Agora avaliamos cada limite simples usando as propriedades citadas:
\lim_{x\to -1} x^{3}=(-1)^{3}=-1,
\lim_{x\to -1} x = -1,
\lim_{x\to -1} 1 = 1.
Substituindo esses valores na expressão do Passo 3,
\lim_{x\to -1} g(x)=2\cdot(-1)+7\cdot(-1)-1.
Calculando:
2\cdot(-1)+7\cdot(-1)-1=-2-7-1=-10.

Passo 5

Calculemos agora o valor da função em -1 por substituição direta:
g(-1)=2(-1)^{3}+7(-1)-1= -2-7-1=-10.
Portanto o valor obtido para o limite ( -10) coincide exatamente com g(-1).

Passo 6

Conclusão e interpretação didática: mostramos passo a passo, usando as propriedades básicas de limites (linearidade e limites de potências e constantes), que se pode substituir x=-1 diretamente na expressão do polinômio para obter o limite. Isso é uma consequência geral: polinômios são funções contínuas em todo ponto, então o limite no ponto é sempre o valor da função no ponto. Aqui, explicitamente, tanto o limite quanto o valor da função deram -10.

Resposta

\lim_{x\to -1} g(x)=g(-1)=-10

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