2- Se
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
A pergunta é clara: mostrar que
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita de
. - O ponto em que o limite deve ser calculado:
.
Nada mais é pedido além de provar que o limite da função naqueles pontos coincide com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
O que significa provar
? Em palavras: ao aproximarmos
de
, os valores de
se aproximam exatamente do número
. Outra forma prática (usada em provas de cálculo elementar) é mostrar que se pode calcular o limite por substituição direta, isto é, avaliar a expressão de
em
e obter o mesmo número que o limite. Para justificar a substituição direta usamos propriedades básicas de limites (lin-earidade e limites de funções simples) e o fato de que polinômios são construídos por somas e produtos de potências de
e constantes.
Vou lembrar as leis de limite que usarei (sem demonstração técnica profunda, mas com explicação intuitiva):
-
, se os dois limites existirem (linearidade da soma). -
para constante . -
. - Para potências inteiras positivas,
. -
Essas leis permitem calcular o limite de um polinômio pela soma dos limites dos termos.
Passo 3
Aplicando as leis de limite ao polinômio
, escrevemos
Pela linearidade do limite (soma e multiplicação por constante),
Passo 4
Agora avaliamos cada limite simples usando as propriedades citadas:
Substituindo esses valores na expressão do Passo 3,
Calculando:
Passo 5
Calculemos agora o valor da função em
por substituição direta:
Portanto o valor obtido para o limite (
) coincide exatamente com
.
Passo 6
Conclusão e interpretação didática: mostramos passo a passo, usando as propriedades básicas de limites (linearidade e limites de potências e constantes), que se pode substituir
diretamente na expressão do polinômio para obter o limite. Isso é uma consequência geral: polinômios são funções contínuas em todo ponto, então o limite no ponto é sempre o valor da função no ponto. Aqui, explicitamente, tanto o limite quanto o valor da função deram
.