Considere a função
f(x)=\frac{(x-4)^{3}}{|4-x|} .
O que podemos afirmar sobre \lim _{x \rightarrow 4} f(x) ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{(x-4)^{3}}{|4-x|}
e pergunta o que podemos afirmar sobre \lim_{x\to4} f(x).
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão da função é \dfrac{(x-4)^3}{|4-x|}.
  • Note que para x=4 o denominador é zero, logo f(4) não está definida pela fórmula dada.
  • O objetivo é estudar o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 4 (limite).

Passo 2

Primeira simplificação algébrica: observe que |4-x|=|x-4|\). Então, para \(x\neq4\), \[f(x)=\frac{(x-4)^3}{|x-4|}.
Podemos separar uma potência:
f(x)=(x-4)^2\cdot\frac{x-4}{|x-4|}.
Aqui aparece o quociente \dfrac{x-4}{|x-4|}, que é justamente a função sinal (sign), definida por
\frac{x-4}{|x-4|}= \begin{cases} 1, & x>4,\\[4pt] -1, & x<4. \end{cases}
Portanto, para x\neq4\] podemos escrever \(f de maneira peça-a-peça:
f(x)= \begin{cases} (x-4)^2, & x>4,\\[4pt] -(x-4)^2, & x<4. \end{cases}]

Passo 3

Calcular os limites laterais usando a forma peça-a-peça.
Limite pela direita ( x\to4^+):
\text{para }x>4:\quad f(x)=(x-4)^2.
Como (x-4)^2\ge0 e (x-4)^2\to0 quando x\to4, segue
\lim_{x\to4^+} f(x)=0.
Limite pela esquerda ( x\to4^-):
\text{para }x<4:\quad f(x)=-(x-4)^2.
Aqui (x-4)^2\to0 quando x\to4; multiplicando por -1 continua indo para 0. Portanto
\lim_{x\to4^-} f(x)=0.
Como os dois limites laterais existem e são iguais (ambos 0), o limite comum existe e vale 0.

Passo 4

Uma forma alternativa, mais compacta e rigorosa, usando valor absoluto (útil na prova):
Calcule o módulo de f(x) para x\neq4:
|f(x)|=\left|\frac{(x-4)^3}{|x-4|}\right|=\frac{|x-4|^3}{|x-4|}=|x-4|^2.
Logo
-|x-4|^2 \le f(x)\le |x-4|^2.
Como |x-4|^2\to0 quando x\to4, pelo Teorema do Aperto (Squeeze) segue que f(x)\to0 quando x\to4. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Passo 5

Observação final sobre continuidade: a função dada não está definida em x=4, mas o limite quando x\to4 existe e é 0. Se alguém definisse f(4):=0, a nova função estendida seria contínua em x=4.

Resposta

\;0\;

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