Considere a função
O que podemos afirmar sobre
?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pergunta o que podemos afirmar sobre
.
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão da função é
. - Note que para
o denominador é zero, logo não está definida pela fórmula dada. - O objetivo é estudar o comportamento de
quando se aproxima de (limite).
Passo 2
Primeira simplificação algébrica: observe que
Podemos separar uma potência:
Aqui aparece o quociente
, que é justamente a função sinal (sign), definida por
Portanto, para
de maneira peça-a-peça:
Passo 3
Calcular os limites laterais usando a forma peça-a-peça.
Limite pela direita (
):
Como
e
quando
, segue
Limite pela esquerda (
):
Aqui
quando
; multiplicando por
continua indo para
. Portanto
Como os dois limites laterais existem e são iguais (ambos
), o limite comum existe e vale
.
Passo 4
Uma forma alternativa, mais compacta e rigorosa, usando valor absoluto (útil na prova):
Calcule o módulo de
para
:
Logo
Como
quando
, pelo Teorema do Aperto (Squeeze) segue que
quando
. Isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 5
Observação final sobre continuidade: a função dada não está definida em
, mas o limite quando
existe e é
. Se alguém definisse
, a nova função estendida seria contínua em
.