g(x)= \begin{cases}\sqrt[3]{-x} & \text { se } x \leqslant 0 \\\ \sqrt[3]{x} & \text { se } 0<x\end{cases}
(b) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} g(x)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
g(x)= \begin{cases}\sqrt[3]{-x} & \text{se } x \leqslant 0,\\[4pt] \sqrt[3]{x} & \text{se } 0<x.\end{cases}
A pergunta (b) é: calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^-} g(x).
Informações relevantes dadas: para x\leqslant 0 devemos usar a expressão \sqrt[3]{-x}.]

Passo 2

Entendendo o que significa \displaystyle \lim_{x\to 0^-} g(x): é o valor que g(x) se aproxima quando x se aproxima de 0 vindo pela esquerda (valores de x negativos). Portanto, ao avaliar esse limite usamos a rama da função válida para x\leqslant 0, isto é, avaliamos
\lim_{x\to 0^-} \sqrt[3]{-x}.

Passo 3

Fazer uma substituição simples para ficar mais claro: seja t=-x. Quando x\to 0^- (ou seja, x negativo e tendendo a 0), temos t>0 e t\to 0^+. Com isso
\lim_{x\to 0^-} \sqrt[3]{-x} = \lim_{t\to 0^+} \sqrt[3]{t}.
A função h(t)=\sqrt[3]{t} é contínua em t=0 (na verdade contínua em todo \mathbb{R}), então esse limite equivale a \sqrt[3]{0}.

Passo 4

Se quiser uma justificativa \varepsilon- \delta rápida: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon^{3}. Se 0<t<\delta então
0<\sqrt[3]{t}<\sqrt[3]{\delta}=\varepsilon,
logo \lim_{t\to 0^+}\sqrt[3]{t}=\sqrt[3]{0}. Como t=-x, a mesma escolha prova o limite unicamente pela esquerda para x.

Passo 5

Concluímos, portanto, que o limite pedido é igual a \sqrt[3]{0}.

Resposta

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