Se g(x) for derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções, faça todas as contas possíveis:
f(x)=\left(x^{2}-x\right) g(x)

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a derivada da função
f(x)=\left(x^{2}-x\right)g(x),
sabendo que g(x) é derivável.
Informações relevantes fornecidas:
\text{dado: }g \text{ é derivável } \Rightarrow g'(x)\text{ existe para todos }x.éá
Pergunta: obter uma expressão para f'(x) — a derivada de f — e fazer todas as contas possíveis.

Passo 2

Vamos dividir o problema em pedaços usando a regra do produto. Seja
u(x)=x^{2}-x\qquad\text{e}\qquad v(x)=g(x).
A regra do produto diz que, se u e v são diferenciáveis, então a derivada de u\cdot v é
(uv)'=u'v+uv'.
Breve explicação do porquê: a derivada mede a taxa instantânea de variação; quando duas funções se multiplicam, a variação total vem das variações separadas de cada uma, levando ao soma acima. Aqui podemos aplicar a regra do produto porque u é polinomial (logo diferenciável) e v=g é dada como diferenciável.

Passo 3

Calculamos u'(x). Usamos a regra de potência e a derivada de uma soma/constante:
  • A regra de potência: \dfrac{d}{dx}\,x^{n}=n x^{n-1}.
  • A derivada de x é 1 e de uma constante multiplicada é multiplicada pela constante.
    Aplicando:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x,\qquad \frac{d}{dx}\big(-x\big)=-1.
Portanto
u'(x)=2x-1.

Passo 4

Como v(x)=g(x) e o enunciado afirma que g é derivável, simplesmente temos
v'(x)=g'(x).
Aqui g'(x) é a notação que indica a derivada de g em x, ou seja, a taxa de variação instantânea de g em x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' encontrados:
f'(x)=(2x-1)\,g(x)+(x^{2}-x)\,g'(x).
Podemos fazer uma pequena fatoração em x^{2}-x se quisermos deixar mais claro:
x^{2}-x=x(x-1),
logo uma forma alternativa é
f'(x)=(2x-1)\,g(x)+x(x-1)\,g'(x).
Ambas as formas estão corretas e representam a derivada completamente simplificada dentro do que é possível sem informação explícita sobre g.

Resposta

\,f'(x)=(2x-1)\,g(x)+(x^{2}-x)\,g'(x)

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