Se
for derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções, faça todas as contas possíveis:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a derivada da função
sabendo que
é derivável.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta: obter uma expressão para
— a derivada de
— e fazer todas as contas possíveis.
Passo 2
Vamos dividir o problema em pedaços usando a regra do produto. Seja
A regra do produto diz que, se
e
são diferenciáveis, então a derivada de
é
Breve explicação do porquê: a derivada mede a taxa instantânea de variação; quando duas funções se multiplicam, a variação total vem das variações separadas de cada uma, levando ao soma acima. Aqui podemos aplicar a regra do produto porque
é polinomial (logo diferenciável) e
é dada como diferenciável.
Passo 3
Calculamos
. Usamos a regra de potência e a derivada de uma soma/constante:
- A regra de potência:
. - A derivada de
é e de uma constante multiplicada é multiplicada pela constante.
Aplicando:
Portanto
Passo 4
Como
e o enunciado afirma que
é derivável, simplesmente temos
Aqui
é a notação que indica a derivada de
em
, ou seja, a taxa de variação instantânea de
em
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
encontrados:
Podemos fazer uma pequena fatoração em
se quisermos deixar mais claro:
logo uma forma alternativa é
Ambas as formas estão corretas e representam a derivada completamente simplificada dentro do que é possível sem informação explícita sobre
.