Observe as seguintes funções e escreva em qual intervalo cada função é derivável.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text { se }, x \leq 0, \\\ x-5, & \text { se } 0<x<4 \\\ \frac{1}{5-x}, & \text { se }, x \geq 4,\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede: “Observe a função e escreva em qual intervalo cada função é derivável.” A função é dada por
f(x)=\begin{cases} 0, & \text{se } x\le 0,\\[4pt] x-5, & \text{se } 0<x<4,\\[4pt] \displaystyle\frac{1}{5-x}, & \text{se } x\ge 4. \end{cases}
Informações relevantes que eu já tenho do enunciado:
\;x\le 0 define um ramo constante f(x)=0.
\;0<x<4 define um ramo linear f(x)=x-5.
\;x\ge 4 define um ramo racional f(x)=\dfrac{1}{5-x}.
Os pontos onde a definição muda são \;x=0 e \;x=4. A resposta deve indicar em quais intervalos (ou pontos) a função é diferenciável.]

Passo 2

O que significa “derivável” num ponto e condição necessária:
A função f é derivável em um ponto a se existir o limite
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
isto é, a taxa de variação instantânea existe e é finita. Uma condição necessária (mas não suficiente) para f ser derivável em a é que f seja contínua em a. Portanto, um bom plano: (i) verificar a derivabilidade em cada intervalo interno onde a fórmula é única; (ii) verificar continuidade e derivabilidade nos pontos de mudança \;x=0 e \;x=4.

Passo 3

Derivabilidade em \;(-\infty,0): aqui f(x)=0 (constante).
Regra prática: a derivada de uma constante é zero. Mostrando pela definição:
para a<0,
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{0-0}{h}=0\quad\text{para }h\neq 0,
logo \lim_{h\to 0}0=0. Portanto f é derivável em todo (-\infty,0) e
f'(x)=0\quad\text{em }\;(-\infty,0).

Passo 4

Derivabilidade em \;(0,4): aqui f(x)=x-5 (reta).
Regra prática: a derivada de ax+b é a. Pela definição, para a\in(0,4),
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h-5)-(a-5)}{h}=\frac{h}{h}=1,
logo \lim_{h\to 0}1=1. Portanto f é derivável em todo (0,4) e
f'(x)=1\quad\text{em }\;(0,4).

Passo 5

Derivabilidade em \;(4,\infty): aqui f(x)=\dfrac{1}{5-x}=(5-x)^{-1}.
Vou derivar usando a regra do quociente/chain rule simples: seja u(x)=5-x, então u'(x)=-1 e
\frac{d}{dx}\big(u^{-1}\big)=-1\cdot u^{-2}\cdot u'(x) = -1\cdot u^{-2}\cdot(-1)=u^{-2}=(5-x)^{-2}.
Portanto f é derivável em todo (4,\infty) e
f'(x)=\frac{1}{(5-x)^2}\quad\text{em }\;(4,\infty).

Passo 6

Verificação no ponto \;x=0:
  • Valor pelo ramo x\le 0: f(0)=0.
  • Limite pela direita: \displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(x-5)=-5.
    Como 0\neq -5, f é descontínua em x=0. Logo f não pode ser derivável em x=0.
    (Observação: as derivadas laterais seriam 0 pela esquerda e 1 pela direita, mas a falta de continuidade já basta.)

Passo 7

Verificação no ponto \;x=4:
  • Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to 4^-}f(x)=\lim_{x\to 4^-}(x-5)= -1.
  • Valor em 4 (usar o ramo x\ge 4 porque 4 pertence a esse ramo): f(4)=\dfrac{1}{5-4}=1.
    Como -1\neq 1, f é descontínua em x=4. Logo f não é derivável em x=4.
    (Comentário adicional: as derivadas laterais calculadas a partir das fórmulas dos ramos são ambas iguais a 1, mas a derivabilidade exige continuidade; como há salto, a derivada no ponto não existe. Para ver isso pela definição: a diferença f(4+h)-f(4) para h<0 envolve a diferença entre -1+h e 1, produzindo termos que divergem quando divididos por h.)

Resposta

\;f é derivável em (-\infty,0), em (0,4) e em (4,\infty).

Exercícios relacionados