(2 pontos) Se uma equação de uma reta tangente à curva y=f(x)=a x^{2}+b x no ponto x_{0}=2 é y=4 x-5 quais são os valores de a e b.

Passo 1

O enunciado dá a função \,y=f(x)=a x^{2}+b x\,, diz que a reta tangente à curva no ponto x_{0}=2 é \,y=4x-5\, e pede os valores de \,a\, e \,b.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • A função é \,f(x)=a x^{2}+b x\,.\n
  • O ponto de tangência tem coordenada x_{0}=2.\n
  • A reta tangente no ponto é \,y=4x-5\,, cuja inclinação (coeficiente angular) é \,4\, e cujo valor em x=2 é \,y=4\cdot 2-5=3\,.\n
    O que é pedido: encontrar \,a\, e \,b\,.

Passo 2

Entendendo o que significa “reta tangente” num ponto (explicação didática e passo a passo):\n
  • A reta tangente em x_{0} toca a curva em x_{0}, então o valor da função nesse ponto é igual ao valor da reta nesse mesmo x_{0}. Ou seja, \,f(2) deve ser igual a 3 (pois a reta dá 3 em x=2).\n
  • Além disso, a reta tangente tem a mesma inclinação (mesmo coeficiente angular) que a inclinação instantânea da curva naquele ponto. Para funções suaves isso se obtém pela derivada: a inclinação da curva em x é f'(x). Então devemos ter f'(2)=4.\n
    Vou explicar rapidamente como calcular a derivada de um polinômio (regra do expoente):\n
  • Regra rápida: a derivada de \,x^{n} é \,n x^{n-1}.\n
  • Aplicando ao termo \,a x^{2}: a derivada é \,2a x.\n
  • Aplicando ao termo \,b x: a derivada é \,b (porque é 1\cdot b x^{0}).\n

Passo 3

Calculemos a derivada f'(x) explicitamente:\n
f'(x)=2a x + b.
Agora avaliamos em x=2 e igualamos à inclinação da reta tangente ( 4):\n
f'(2)=2a\cdot 2 + b = 4a + b = 4.

Passo 4

Agora usamos a condição do ponto de tangência: o valor da função em x=2 deve ser o mesmo da reta em x=2, que é 3. Calculemos \,f(2) e igualemos a 3:\n
f(2)=a\cdot 2^{2} + b\cdot 2 = 4a + 2b = 3.

Passo 5

Temos agora um sistema linear simples em \,a\,\) e \(\,b\,\):\n \[\begin{cases} 4a + b = 4,\\[4pt] 4a + 2b = 3. \end{cases}
Para resolver, subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a\]:\n \[(4a+2b)-(4a+b)=3-4 \implies b = -1.\] Com \(b=-1, voltamos à primeira equação \,4a+b=4\,:\n
4a + (-1) = 4 \implies 4a = 5 \implies a = \frac{5}{4}.]

Resposta

\displaystyle a=\frac{5}{4}\n
\displaystyle b=-1

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