(2 pontos) Se uma equação de uma reta tangente à curva
no ponto
é
quais são os valores de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
, diz que a reta tangente à curva no ponto
é
e pede os valores de
e
.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
- A função é
\n - O ponto de tangência tem coordenada
.\n - A reta tangente no ponto é
, cuja inclinação (coeficiente angular) é e cujo valor em é \n
O que é pedido: encontrare .
Passo 2
Entendendo o que significa “reta tangente” num ponto (explicação didática e passo a passo):\n
- A reta tangente em
toca a curva em , então o valor da função nesse ponto é igual ao valor da reta nesse mesmo . Ou seja, deve ser igual a (pois a reta dá em ).\n - Além disso, a reta tangente tem a mesma inclinação (mesmo coeficiente angular) que a inclinação instantânea da curva naquele ponto. Para funções suaves isso se obtém pela derivada: a inclinação da curva em
é . Então devemos ter .\n
Vou explicar rapidamente como calcular a derivada de um polinômio (regra do expoente):\n - Regra rápida: a derivada de
é .\n - Aplicando ao termo
: a derivada é \n - Aplicando ao termo
: a derivada é (porque é ).\n
Passo 3
Calculemos a derivada
explicitamente:\n
Agora avaliamos em
e igualamos à inclinação da reta tangente (
):\n
Passo 4
Agora usamos a condição do ponto de tangência: o valor da função em
deve ser o mesmo da reta em
, que é
. Calculemos
e igualemos a
:\n
Passo 5
Temos agora um sistema linear simples em
Para resolver, subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar
, voltamos à primeira equação
\n