. Expresse
e
em termos das derivadas parciais de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para expressar
e
em termos das derivadas parciais de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é produto de por uma composição de com as expressões (primeiro argumento) e (segundo argumento). - Deve-se usar as derivadas parciais de
(isto é, as derivadas de em relação ao seu primeiro e segundo argumentos) para escrever as derivadas parciais de .
Passo 2
Para simplificar a notação, defino duas funções auxiliares (substituições):
Assim posso escrever
Vou usar a notação
para a derivada parcial de
em relação ao seu primeiro argumento e
para a derivada parcial de
em relação ao seu segundo argumento. Essas derivadas serão sempre avaliadas no ponto
.
Passo 3
Lembrete do produto: se
, então a derivada parcial em relação a
obedece à regra do produto:
No nosso caso
.
Passo 4
Lembrete da regra da cadeia (versão para funções de várias variáveis): se
, então
Aqui
,
, etc. A ideia é: derivar
em relação a cada argumento e multiplicar pela derivada desse argumento em relação à variável que interessa.
Passo 5
Calculo as derivadas de
e
:
Passo 6
Agora calculo
usando a regra do produto (Passo 3) e a regra da cadeia (Passo 4):
Pelo Passo 4 e os valores do Passo 5:
Substituindo em
:
onde, lembrando,
e
.
Passo 7
Agora calculo
. Como
é tratado como constante quando derivamos em relação a
,
Pela regra da cadeia e Passo 5:
Portanto
com
e
.
Passo 8
(Verificação rápida — só para ganhar confiança) Se escolhermos por exemplo
, então
,
. As fórmulas dão
Calculando diretamente
e derivando dá
e
, que coincide. Boa checagem!