g(x, y)=x f\left(x^{2}+y, 2 y\right). Expresse \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y} em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y)=x\,f\bigl(x^{2}+y,\;2y\bigr)
e pede para expressar \dfrac{\partial g}{\partial x} e \dfrac{\partial g}{\partial y} em termos das derivadas parciais de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função g é produto de x por uma composição de f com as expressões x^{2}+y (primeiro argumento) e 2y (segundo argumento).
  • Deve-se usar as derivadas parciais de f (isto é, as derivadas de f em relação ao seu primeiro e segundo argumentos) para escrever as derivadas parciais de g.

Passo 2

Para simplificar a notação, defino duas funções auxiliares (substituições):
u(x,y)=x^{2}+y,\qquad v(x,y)=2y.
Assim posso escrever
g(x,y)=x\;f\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr).
Vou usar a notação \dfrac{\partial f}{\partial u} para a derivada parcial de f em relação ao seu primeiro argumento e \dfrac{\partial f}{\partial v} para a derivada parcial de f em relação ao seu segundo argumento. Essas derivadas serão sempre avaliadas no ponto \bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)=\bigl(x^{2}+y,\,2y\bigr).

Passo 3

Lembrete do produto: se h(x,y)=x\cdot H(x,y), então a derivada parcial em relação a x obedece à regra do produto:
\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}[x]\cdot H(x,y)+x\cdot\frac{\partial H}{\partial x}(x,y)=H(x,y)+x\frac{\partial H}{\partial x}(x,y).
No nosso caso H(x,y)=f\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr).

Passo 4

Lembrete da regra da cadeia (versão para funções de várias variáveis): se H(x,y)=f\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr), então
\frac{\partial H}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial u}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,u_{x}(x,y) +\frac{\partial f}{\partial v}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,v_{x}(x,y),
\frac{\partial H}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial u}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,u_{y}(x,y) +\frac{\partial f}{\partial v}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,v_{y}(x,y).
Aqui u_{x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}, v_{y}=\dfrac{\partial v}{\partial y}, etc. A ideia é: derivar f em relação a cada argumento e multiplicar pela derivada desse argumento em relação à variável que interessa.

Passo 5

Calculo as derivadas de u e v:
u_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y\bigr)=2x,\qquad u_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y\bigr)=1,
v_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y\bigr)=0,\qquad v_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y\bigr)=2.

Passo 6

Agora calculo \dfrac{\partial g}{\partial x} usando a regra do produto (Passo 3) e a regra da cadeia (Passo 4):
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = f\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr) + x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl[f\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\bigr].
Pelo Passo 4 e os valores do Passo 5:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[f(u,v)\bigr] = \frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\,u_{x}+\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\,v_{x} = \frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\cdot 2x + \frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\cdot 0.
Substituindo em \dfrac{\partial g}{\partial x}:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = f\bigl(u,v\bigr) + x\cdot\bigl(2x\,\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\bigr) = f\bigl(u,v\bigr)+2x^{2}\frac{\partial f}{\partial u}(u,v),
onde, lembrando, u=x^{2}+y e v=2y.

Passo 7

Agora calculo \dfrac{\partial g}{\partial y}. Como x é tratado como constante quando derivamos em relação a y,
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl[f\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\bigr].
Pela regra da cadeia e Passo 5:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[f(u,v)\bigr] = \frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\,u_{y}+\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\,v_{y} = \frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\cdot 2.
Portanto
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = x\Biggl(\frac{\partial f}{\partial u}(u,v) + 2\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\Biggr),
com u=x^{2}+y e v=2y.

Passo 8

(Verificação rápida — só para ganhar confiança) Se escolhermos por exemplo f(a,b)=a+b, então \frac{\partial f}{\partial a}=1, \frac{\partial f}{\partial b}=1. As fórmulas dão
\frac{\partial g}{\partial x}= (x^{2}+y+2y) + 2x^{2}\cdot 1 = x^{2}+3y+2x^{2}=3x^{2}+3y,
\frac{\partial g}{\partial y}= x\bigl(1+2\cdot 1\bigr)=3x.
Calculando diretamente g(x,y)=x\bigl((x^{2}+y)+2y\bigr)=x(x^{2}+3y)=x^{3}+3xy e derivando dá \partial_x=3x^{2}+3y e \partial_y=3x, que coincide. Boa checagem!

Resposta

\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=f\bigl(x^{2}+y,\,2y\bigr)+2x^{2}\,\frac{\partial f}{\partial u}\bigl(x^{2}+y,\,2y\bigr)
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x\!\left(\frac{\partial f}{\partial u}\bigl(x^{2}+y,\,2y\bigr)+2\,\frac{\partial f}{\partial v}\bigl(x^{2}+y,\,2y\bigr)\right)

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