Calcule
para cada uma das funções abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
quando
Informações dadas:
- A função
é uma função de duas variáveis, isto é, está definida em pares . - Em
estamos substituindo e .
O objetivo é obter uma expressão paraem termos das derivadas parciais de e de funções trigonométricas de .
Passo 2
Para organizar, defina funções auxiliares
Então
é a composição
Essa reescritura deixa explícito que
depende de
só através de
e
.
Passo 3
Agora vamos usar a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis. Se
é diferenciável em um ponto
, então variações pequenas satisfazem a aproximação linear
onde
-
é a derivada parcial de em relação à primeira variável avaliada em , -
é a derivada parcial de em relação à segunda variável avaliada em .
Dividindo a aproximação por
e fazendo o limite
obtemos a fórmula da regra da cadeia para derivadas em relação a
:
Isto significa: para obter
multiplica-se cada derivada parcial de
pela derivada da respectiva variável interna em relação a
, e soma-se os termos.
Passo 4
Calcule as derivadas de
e
:
Passo 5
Substituindo na fórmula da regra da cadeia obtemos a expressão final:
Podemos reescrever de forma mais limpa como
Passo 6
Interpretação e dica prática para a prova: para calcular
sempre
- identifique as variáveis internas (
, ), - calcule
e , - multiplique
por e por , e some.
Exemplo rápido (para fixar): se
, então
e
. Assim
o que faz sentido:
é constante.