Calcule \frac{d z}{d t} para cada uma das funções abaixo.
z=f(\cos t, \sin t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d z}{d t} quando
z = f(\cos t,\sin t).
Informações dadas:
  • A função f é uma função de duas variáveis, isto é, f(x,y) está definida em pares (x,y).
  • Em z estamos substituindo x=\cos t e y=\sin t.
    O objetivo é obter uma expressão para \dfrac{d z}{d t} em termos das derivadas parciais de f e de funções trigonométricas de t.

Passo 2

Para organizar, defina funções auxiliares
u(t)=\cos t,\qquad v(t)=\sin t.
Então z é a composição
z(t)=f\bigl(u(t),v(t)\bigr)=f\bigl(\cos t,\sin t\bigr).
Essa reescritura deixa explícito que z depende de t só através de u e v.

Passo 3

Agora vamos usar a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis. Se f é diferenciável em um ponto (u,v), então variações pequenas satisfazem a aproximação linear
\Delta z \approx f_x(u,v)\,\Delta u + f_y(u,v)\,\Delta v,
onde
  • f_x(u,v)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(u,v) é a derivada parcial de f em relação à primeira variável avaliada em (u,v),
  • f_y(u,v)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(u,v) é a derivada parcial de f em relação à segunda variável avaliada em (u,v).
Dividindo a aproximação por \Delta t e fazendo o limite \Delta t\to0 obtemos a fórmula da regra da cadeia para derivadas em relação a t:
\frac{d z}{d t}=f_x\bigl(u(t),v(t)\bigr)\,\frac{d u}{d t}+f_y\bigl(u(t),v(t)\bigr)\,\frac{d v}{d t}.
Isto significa: para obter \dfrac{d z}{d t} multiplica-se cada derivada parcial de f pela derivada da respectiva variável interna em relação a t, e soma-se os termos.

Passo 4

Calcule as derivadas de u e v:
\frac{d u}{d t}=\frac{d}{d t}\bigl(\cos t\bigr)=-\sin t,
\frac{d v}{d t}=\frac{d}{d t}\bigl(\sin t\bigr)=\cos t.

Passo 5

Substituindo na fórmula da regra da cadeia obtemos a expressão final:
\frac{d z}{d t}=f_x\bigl(\cos t,\sin t\bigr)\,(-\sin t)+f_y\bigl(\cos t,\sin t\bigr)\,\cos t.
Podemos reescrever de forma mais limpa como
\frac{d z}{d t}=-\,f_x\bigl(\cos t,\sin t\bigr)\,\sin t+f_y\bigl(\cos t,\sin t\bigr)\,\cos t.

Passo 6

Interpretação e dica prática para a prova: para calcular \dfrac{d z}{d t} sempre
  1. identifique as variáveis internas ( u=\cos t, v=\sin t),
  2. calcule \dfrac{du}{dt} e \dfrac{dv}{dt},
  3. multiplique \dfrac{\partial f}{\partial x} por \dfrac{du}{dt} e \dfrac{\partial f}{\partial y} por \dfrac{dv}{dt}, e some.
Exemplo rápido (para fixar): se f(x,y)=x^{2}+y^{2}, então f_x=2x e f_y=2y. Assim
\frac{d z}{d t}=-2\cos t\,\sin t + 2\sin t\,\cos t = 0,
o que faz sentido: z=f(\cos t,\sin t)=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1 é constante.

Resposta

\dfrac{d z}{d t}=-\,f_x\bigl(\cos t,\sin t\bigr)\,\sin t+f_y\bigl(\cos t,\sin t\bigr)\,\cos t

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