Seja
, onde
é uma função diferenciável. Expresse
e
em termos das derivadas parciais de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte composição de funções:
onde
é diferenciável. As incógnitas pedidas são:
- Expressar
em termos das derivadas parciais de . - Expressar
em termos das derivadas parciais de .
Informações relevantes fornecidas:
- A função externa é
(diferenciável), cujas derivadas parciais serão denotadas por e . - As funções internas (dependendo de
e ) são
A resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis.
Se uma função é dada por
e
é diferenciável, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são obtidas pela regra da cadeia:
Explicando devagar:
e
são as derivadas parciais de
em relação às suas primeiras e segundas variáveis; quando usadas aqui, elas devem ser avaliadas no ponto
. As outras derivadas são as das funções internas
e
em relação a
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas das funções internas
e
.
Temos
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Agora
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante), usar regra do produto
:
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia usando os resultados do passo anterior.
Para
:
Substituindo
,
e as derivadas calculadas:
Passo 5
Agora
:
Substituindo os valores: