Seja z=f\left(v e^{-u}, u v^{2}\right), onde f(x, y) é uma função diferenciável. Expresse \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v} em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte composição de funções:
z = f\bigl(v e^{-u},\, u v^{2}\bigr),
onde f(x,y) é diferenciável. As incógnitas pedidas são:
  • Expressar \dfrac{\partial z}{\partial u} em termos das derivadas parciais de f.
  • Expressar \dfrac{\partial z}{\partial v} em termos das derivadas parciais de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função externa é f(x,y) (diferenciável), cujas derivadas parciais serão denotadas por \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • As funções internas (dependendo de u e v) são
x(u,v)=v e^{-u},\qquad y(u,v)=u v^{2}.
A resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis.
Se uma função é dada por
z = f\bigl(x(u,v),\, y(u,v)\bigr),
e f é diferenciável, então as derivadas parciais de z em relação a u e v são obtidas pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial y}{\partial v}.
Explicando devagar: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f em relação às suas primeiras e segundas variáveis; quando usadas aqui, elas devem ser avaliadas no ponto \bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr). As outras derivadas são as das funções internas x(u,v) e y(u,v) em relação a u e v.

Passo 3

Calcular as derivadas das funções internas x(u,v) e y(u,v).
Temos
x(u,v)=v e^{-u}.
Derivando em relação a u (tratando v como constante):
\frac{\partial x}{\partial u} = v\cdot\frac{d}{du}\bigl(e^{-u}\bigr) = v\cdot\bigl(-e^{-u}\bigr) = -v e^{-u}.
Derivando em relação a v (tratando u como constante):
\frac{\partial x}{\partial v} = e^{-u}.
Agora
y(u,v)=u v^{2}.
Derivando em relação a u (tratando v como constante):
\frac{\partial y}{\partial u} = v^{2}.
Derivando em relação a v (tratando u como constante), usar regra do produto u\cdot v^{2}:
\frac{\partial y}{\partial v} = u\cdot\frac{d}{dv}\bigl(v^{2}\bigr) = u\cdot(2v) = 2 u v.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia usando os resultados do passo anterior.
Para \dfrac{\partial z}{\partial u}:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial y}{\partial u}.
Substituindo x(u,v)=v e^{-u}, y(u,v)=u v^{2} e as derivadas calculadas:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(v e^{-u},\, u v^{2}\bigr)\cdot\bigl(-v e^{-u}\bigr) + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(v e^{-u},\, u v^{2}\bigr)\cdot v^{2}.

Passo 5

Agora \dfrac{\partial z}{\partial v}:
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial y}{\partial v}.
Substituindo os valores:
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(v e^{-u},\, u v^{2}\bigr)\cdot e^{-u} + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(v e^{-u},\, u v^{2}\bigr)\cdot(2 u v).

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial u} = -v e^{-u}\,\dfrac{\partial f}{\partial x}\bigl(v e^{-u},\, u v^{2}\bigr) + v^{2}\,\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigl(v e^{-u},\, u v^{2}\bigr)\n
\dfrac{\partial z}{\partial v} = e^{-u}\,\dfrac{\partial f}{\partial x}\bigl(v e^{-u},\, u v^{2}\bigr) + 2 u v\,\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigl(v e^{-u},\, u v^{2}\bigr)

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