Gabriel estava caminhando em direção à sua casa quando encontrou com um amigo e, como estava com algumas laranjas, dividiu suas laranjas com o amigo: deu a metade do que tinha mais uma laranja. Mais adiante Gabriel encontrou outro amigo e dividiu suas laranjas da mesma forma: deu a metade do que tinha mais uma laranja. Continuando seu trajeto Gabriel ainda encontrou com mais outros dois amigos e com cada um procedeu da mesma forma: deu a metade do que tinha mais uma laranja. Ao chegar em casa Gabriel notou que não tinha mais nenhuma laranja. Quantas laranjas Gabriel tinha antes de encontrar com o primeiro amigo?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações ele dá:
- Pergunta: “Quantas laranjas Gabriel tinha antes de encontrar com o primeiro amigo?”
- Informações do enunciado:
- Gabriel encontrou exatamente quatro amigos, um após o outro.
- Com cada amigo, ele procedeu da mesma forma: deu a metade do que tinha mais uma laranja.
- Ao chegar em casa, depois desses quatro encontros, Gabriel não tinha mais nenhuma laranja (ou seja, sobrou zero laranja).
- Objetivo: determinar o número inicial de laranjas, que chamo de
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática e empática):
- Podemos tentar montar uma equação para o número final em função de
aplicando a operação quatro vezes — isso funciona, mas envolve compostos de frações e soma de constantes, o que dá mais trabalho mental. - Uma alternativa muito mais simples e confiável é raciocinar de trás para frente (método reverso): sabendo que após o quarto encontro ficou
, perguntar “quantas laranjas ele tinha antes desse encontro?” e repetir para cada encontro anterior. - Razão: a operação “dar a metade do que tinha mais uma” é fácil de inverter; isso garante números inteiros em cada passo quando o problema tem solução inteira. Vou mostrar a derivação do avanço e da inversa para ficar clarinho.
Passo 3
Modelagem do processo (para entender a operação):
- Chamo
o número de laranjas que Gabriel tinha imediatamente antes do -ésimo encontro (ou seja, é o inicial, depois do primeiro encontro, etc.). - Ao encontrar um amigo, ele deu
laranjas. Logo, o que sobrou é
- Essa é a regra direta: a cada encontro o novo estoque é
.
Passo 4
Derivação da operação inversa (essencial para o método reverso):
- Suponha que após um encontro Gabriel ficou com
laranjas. Queremos saber quantas ele tinha antes desse encontro (chame isso de ). - Pela fórmula direta:
. - Isolando
:
- Conclusão: para voltar um passo, basta calcular
. Em palavras: “o número anterior é o dobro do que sobrou mais duas” (porque ).
Passo 5
Aplicação prática do método reverso, passo a passo (começando do final):
- Sabemos que, após o quarto encontro, Gabriel ficou com
. - Voltar ao estado imediatamente antes do quarto encontro:
- Voltar ao estado antes do terceiro encontro:
- Voltar ao estado antes do segundo encontro:
- Voltar ao estado antes do primeiro encontro (que é o inicial
):
Passo 6
Verificação direta (pra ficar seguro e tranquilo):
- Aplicando a regra direta a partir de
: - Depois do 1º encontro:
. - Depois do 2º encontro:
. - Depois do 3º encontro:
. - Depois do 4º encontro:
.
- Depois do 1º encontro:
- Resultado consistente com o enunciado (fica zero ao final), então
está correto.
Passo 7
Observação extra (para treinar o raciocínio e lembrar na prova):
- Sempre que a operação for do tipo “dar a metade do que tem mais uma constante”, a inversa será “multiplicar por 2 e depois somar o dobro da constante”. Aqui a constante foi
, então a inversa é "dobrar e somar " dentro da fórmula geral, mas a forma direta que usamos é a mais simples para aplicar. - Respire fundo: é normal ficar inseguro, mas esse tipo de problema entra fácil se você lembrar de raciocinar de trás para frente.
Resposta
30