Gabriel estava caminhando em direção à sua casa quando encontrou com um amigo e, como estava com algumas laranjas, dividiu suas laranjas com o amigo: deu a metade do que tinha mais uma laranja. Mais adiante Gabriel encontrou outro amigo e dividiu suas laranjas da mesma forma: deu a metade do que tinha mais uma laranja. Continuando seu trajeto Gabriel ainda encontrou com mais outros dois amigos e com cada um procedeu da mesma forma: deu a metade do que tinha mais uma laranja. Ao chegar em casa Gabriel notou que não tinha mais nenhuma laranja. Quantas laranjas Gabriel tinha antes de encontrar com o primeiro amigo?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações ele dá:
  • Pergunta: “Quantas laranjas Gabriel tinha antes de encontrar com o primeiro amigo?”
  • Informações do enunciado:
    • Gabriel encontrou exatamente quatro amigos, um após o outro.
    • Com cada amigo, ele procedeu da mesma forma: deu a metade do que tinha mais uma laranja.
    • Ao chegar em casa, depois desses quatro encontros, Gabriel não tinha mais nenhuma laranja (ou seja, sobrou zero laranja).
  • Objetivo: determinar o número inicial de laranjas, que chamo de \,a_0.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática e empática):
  • Podemos tentar montar uma equação para o número final em função de \,a_0 aplicando a operação quatro vezes — isso funciona, mas envolve compostos de frações e soma de constantes, o que dá mais trabalho mental.
  • Uma alternativa muito mais simples e confiável é raciocinar de trás para frente (método reverso): sabendo que após o quarto encontro ficou \,0, perguntar “quantas laranjas ele tinha antes desse encontro?” e repetir para cada encontro anterior.
  • Razão: a operação “dar a metade do que tinha mais uma” é fácil de inverter; isso garante números inteiros em cada passo quando o problema tem solução inteira. Vou mostrar a derivação do avanço e da inversa para ficar clarinho.

Passo 3

Modelagem do processo (para entender a operação):
  • Chamo \,a_k o número de laranjas que Gabriel tinha imediatamente antes do (k+1)-ésimo encontro (ou seja, a_0 é o inicial, a_1 depois do primeiro encontro, etc.).
  • Ao encontrar um amigo, ele deu \,\dfrac{a_k}{2}+1 laranjas. Logo, o que sobrou é
a_{k+1} = a_k - \left(\dfrac{a_k}{2}+1\right) = \dfrac{a_k}{2} - 1.
  • Essa é a regra direta: a cada encontro o novo estoque é \,a_{k+1}=\dfrac{a_k}{2}-1.

Passo 4

Derivação da operação inversa (essencial para o método reverso):
  • Suponha que após um encontro Gabriel ficou com \,r laranjas. Queremos saber quantas ele tinha antes desse encontro (chame isso de \,x).
  • Pela fórmula direta: r = \dfrac{x}{2}-1.
  • Isolando x:
r = \dfrac{x}{2}-1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{2}=r+1 \quad\Rightarrow\quad x = 2(r+1).
  • Conclusão: para voltar um passo, basta calcular \,x=2(r+1). Em palavras: “o número anterior é o dobro do que sobrou mais duas” (porque 2(r+1)=2r+2).

Passo 5

Aplicação prática do método reverso, passo a passo (começando do final):
  • Sabemos que, após o quarto encontro, Gabriel ficou com \,a_4=0.
  • Voltar ao estado imediatamente antes do quarto encontro:
a_3 = 2\bigl(a_4+1\bigr) = 2(0+1) = 2.
  • Voltar ao estado antes do terceiro encontro:
a_2 = 2\bigl(a_3+1\bigr) = 2(2+1) = 6.
  • Voltar ao estado antes do segundo encontro:
a_1 = 2\bigl(a_2+1\bigr) = 2(6+1) = 14.
  • Voltar ao estado antes do primeiro encontro (que é o inicial \,a_0):
a_0 = 2\bigl(a_1+1\bigr) = 2(14+1) = 30.

Passo 6

Verificação direta (pra ficar seguro e tranquilo):
  • Aplicando a regra direta a partir de \,a_0=30:
    • Depois do 1º encontro: \,a_1=\dfrac{30}{2}-1=15-1=14.
    • Depois do 2º encontro: \,a_2=\dfrac{14}{2}-1=7-1=6.
    • Depois do 3º encontro: \,a_3=\dfrac{6}{2}-1=3-1=2.
    • Depois do 4º encontro: \,a_4=\dfrac{2}{2}-1=1-1=0.
  • Resultado consistente com o enunciado (fica zero ao final), então \,a_0=30 está correto.

Passo 7

Observação extra (para treinar o raciocínio e lembrar na prova):
  • Sempre que a operação for do tipo “dar a metade do que tem mais uma constante”, a inversa será “multiplicar por 2 e depois somar o dobro da constante”. Aqui a constante foi \,1, então a inversa é "dobrar e somar 2" dentro da fórmula geral, mas a forma direta que usamos \,x=2(r+1) é a mais simples para aplicar.
  • Respire fundo: é normal ficar inseguro, mas esse tipo de problema entra fácil se você lembrar de raciocinar de trás para frente.

Resposta

30

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