Admita que em uma população de indivíduos portadores do HIV e também do bacilo de Koch, mas que ainda não desenvolveram a tuberculose, pelo menos 10 \% dos indivíduos desenvolvem tuberculose ao final de 1 ano. Se essa população tinha inicialmente 10.000 indivíduos e, ao final de n anos, exatamente 3.439 indivíduos desenvolveram tuberculose. Qual o valor inteiro máximo possível de n ?
  • Resolva a questão.
  • Que conteúdos essa questão aborda?
  • Você acha que esta questão é interdisciplinar? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • População inicial: 10000 indivíduos.
  • Regra temporal: “pelo menos 10\% dos indivíduos desenvolvem tuberculose ao final de 1 ano.”
  • Observação: ao final de n anos, exatamente 3439 indivíduos desenvolveram tuberculose.
    O que o problema pede:
  • Determinar o maior valor inteiro possível de n.
    Além disso, o enunciado também pediu (separadamente) que eu informe:
  • Quais conteúdos matemáticos/temas essa questão aborda.
  • Se a questão é interdisciplinar e por quê.

Passo 2

Interpretação precisa da regra “pelo menos 10\% ao final de 1 ano” (importante para poder resolver): a interpretação natural e usual é que, em cada ano, pelo menos 10\% dos indivíduos que ainda não haviam desenvolvido a doença no começo daquele ano vão desenvolver a tuberculose até o fim desse ano. Em outras palavras, se S_k é o número de indivíduos que ainda não desenvolveram a doença ao início do ano k+1, então durante o ano k um número r_k S_k desenvolve a doença com r_k\ge 0,1.
Observação útil para a estratégia: para que seja possível que, após n anos, só 3439 tenham desenvolvido a doença, convém considerar o cenário que produz o menor número possível de casos acumulados em n anos (porque a regra é "pelo menos 10\%"). O menor acumulado ocorre quando, em cada ano, desenvolve exatamente a fração mínima permitida, isto é r_k=0,1 em todos os anos. Essa é a ideia chave: para maximizar n compatível com apenas 3439 casos, tomamos o caso “mais lento” permitido pelos dados.

Passo 3

Modelagem matemática do caso “mais lento” (caso mínimo):
  • Começo: S_0=10000 indivíduos ainda sem tuberculose.
  • Se em cada ano exatamente 10\% dos que restam desenvolvem a doença, então a fração que permanece sem a doença após um ano é 1-0,1=0,9.
  • Após n anos, o número que ainda não desenvolveu (sobreviventes ao processo) é
S_n = 10000\cdot (0,9)^n.
  • Assim o número acumulado que desenvolveram a doença até então (no cenário mínimo permitido) é
D_{\min}(n)=10000 - S_n = 10000\bigl(1-(0,9)^n\bigr).
Explicando por que esse é o mínimo: qualquer ano em que a fração que desenvolve seja maior que 0,1 aumenta o total acumulado naquele ano e também diminui o estoque para os anos seguintes, logo o acumulado final só pode aumentar. Portanto o menor possível é obtido com exatamente 10\% todos os anos.

Passo 4

Condição de compatibilidade com a observação: o número observado 3439 deve ser maior ou igual ao mínimo possível após n anos:
3439 \ge D_{\min}(n)=10000\bigl(1-(0,9)^n\bigr).
Resolver essa desigualdade para n:
3439 \ge 10000\bigl(1-(0,9)^n\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{3439}{10000} \ge 1-(0,9)^n
\Longrightarrow\quad (0,9)^n \ge 1-\frac{3439}{10000}=0,6561.

Passo 5

Agora reconhecemos potência exata: 0,9^2=0,81, 0,9^3=0,729, 0,9^4=0,6561. Como (0,9)^n é estritamente decrescente em n, da desigualdade
(0,9)^n \ge 0,6561=(0,9)^4
segue que
n \le 4.
Como n deve ser um número inteiro não negativo, o maior valor inteiro possível é n=4. Verificação: para n=4 o acumulado mínimo é exatamente
D_{\min}(4)=10000\bigl(1-(0,9)^4\bigr)=10000(1-0,6561)=10000\cdot 0,3439=3439,
portanto o caso é possível (ocorre se em cada ano desenvolverem exatamente 10\%). Para n\ge5 o mínimo possível já excede 3439, então não é compatível.

Passo 6

  • Conceito usado: progressão geométrica e decaimento exponencial discreto. Quando um grupo sobra multiplicado por uma constante q a cada passo (aqui q=0,9), após n passos o fator é q^n.
  • Fórmula geral: se S_0 é inicial e a fração que permanece a cada passo é q, então S_n=S_0 q^n. O número que saiu após n passos é S_0(1-q^n).
  • Dica prática para provas: sempre pense em “estoque” (quem ainda não foi afetado) e em “fluxo” (quantos saem a cada ano). Para perguntas do tipo “pelo menos x% por ano”, o cenário que dá o menor total após n anos é o que usa exatamente x\% todo ano; para “no máximo x%” o cenário que dá o maior total usa exatamente x\% todo ano.
  • Exemplo rápido extra (mini-prática): se 100 pessoas e 20\% desenvolvem por ano, após 3 anos o mínimo acumulado é 100(1-0,8^3)=100(1-0,512)=48.

Passo 7

  • Progressão geométrica / sequência geométrica e sua soma/transformação em termos de “remanescente”.
  • Modelo exponencial discreto (decaimento geométrico).
  • Álgebra elementar e desigualdades (resolver para n).
  • Interpretação e modelagem matemática de um processo real.

Passo 8

Sim, é interdisciplinar. Justificativa curta:
  • Matemática: exige raciocínio com progressões geométricas, exponenciais discretas e desigualdades.
  • Ciências biomédicas/epidemiologia: traduz um processo real de incidência de doença ano a ano; modelagem do progresso de uma condição em população.
  • Também toca em raciocínios úteis em demografia e ciências sociais (modelos de sobrevivência/distribuição temporal de eventos).

Resposta

4
Progressões geométricas / decaimento exponencial discreto, desigualdades e modelagem matemática.
Sim. Porque combina matemática (modelagem geométrica/exponencial) com noções de epidemiologia/biologia (incidência anual de uma doença), ou seja, aplica conceitos matemáticos para explicar um fenômeno de saúde pública.

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