Admita que em uma população de indivíduos portadores do HIV e também do bacilo de Koch, mas que ainda não desenvolveram a tuberculose, pelo menos
dos indivíduos desenvolvem tuberculose ao final de 1 ano. Se essa população tinha inicialmente 10.000 indivíduos e, ao final de
anos, exatamente 3.439 indivíduos desenvolveram tuberculose. Qual o valor inteiro máximo possível de
?
- Resolva a questão.
- Que conteúdos essa questão aborda?
- Você acha que esta questão é interdisciplinar? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- População inicial:
indivíduos. - Regra temporal: “pelo menos
dos indivíduos desenvolvem tuberculose ao final de 1 ano.” - Observação: ao final de
anos, exatamente indivíduos desenvolveram tuberculose.
O que o problema pede: - Determinar o maior valor inteiro possível de
.
Além disso, o enunciado também pediu (separadamente) que eu informe: - Quais conteúdos matemáticos/temas essa questão aborda.
- Se a questão é interdisciplinar e por quê.
Passo 2
Interpretação precisa da regra “pelo menos
ao final de 1 ano” (importante para poder resolver): a interpretação natural e usual é que, em cada ano, pelo menos
dos indivíduos que ainda não haviam desenvolvido a doença no começo daquele ano vão desenvolver a tuberculose até o fim desse ano. Em outras palavras, se
é o número de indivíduos que ainda não desenvolveram a doença ao início do ano
, então durante o ano
um número
desenvolve a doença com
.
Observação útil para a estratégia: para que seja possível que, após anos, só
tenham desenvolvido a doença, convém considerar o cenário que produz o menor número possível de casos acumulados em
anos (porque a regra é "pelo menos
"). O menor acumulado ocorre quando, em cada ano, desenvolve exatamente a fração mínima permitida, isto é
em todos os anos. Essa é a ideia chave: para maximizar
compatível com apenas
casos, tomamos o caso “mais lento” permitido pelos dados.
Observação útil para a estratégia: para que seja possível que, após
Passo 3
Modelagem matemática do caso “mais lento” (caso mínimo):
- Começo:
indivíduos ainda sem tuberculose. - Se em cada ano exatamente
dos que restam desenvolvem a doença, então a fração que permanece sem a doença após um ano é . - Após
anos, o número que ainda não desenvolveu (sobreviventes ao processo) é
- Assim o número acumulado que desenvolveram a doença até então (no cenário mínimo permitido) é
Explicando por que esse é o mínimo: qualquer ano em que a fração que desenvolve seja maior que
aumenta o total acumulado naquele ano e também diminui o estoque para os anos seguintes, logo o acumulado final só pode aumentar. Portanto o menor possível é obtido com exatamente
todos os anos.
Passo 4
Condição de compatibilidade com a observação: o número observado
deve ser maior ou igual ao mínimo possível após
anos:
Resolver essa desigualdade para
:
Passo 5
Agora reconhecemos potência exata:
,
,
. Como
é estritamente decrescente em
, da desigualdade
segue que
Como
deve ser um número inteiro não negativo, o maior valor inteiro possível é
. Verificação: para
o acumulado mínimo é exatamente
portanto o caso é possível (ocorre se em cada ano desenvolverem exatamente
). Para
o mínimo possível já excede
, então não é compatível.
Passo 6
- Conceito usado: progressão geométrica e decaimento exponencial discreto. Quando um grupo sobra multiplicado por uma constante
a cada passo (aqui ), após passos o fator é . - Fórmula geral: se
é inicial e a fração que permanece a cada passo é , então . O número que saiu após passos é . - Dica prática para provas: sempre pense em “estoque” (quem ainda não foi afetado) e em “fluxo” (quantos saem a cada ano). Para perguntas do tipo “pelo menos x% por ano”, o cenário que dá o menor total após
anos é o que usa exatamente todo ano; para “no máximo x%” o cenário que dá o maior total usa exatamente todo ano. - Exemplo rápido extra (mini-prática): se
pessoas e desenvolvem por ano, após anos o mínimo acumulado é .
Passo 7
- Progressão geométrica / sequência geométrica e sua soma/transformação em termos de “remanescente”.
- Modelo exponencial discreto (decaimento geométrico).
- Álgebra elementar e desigualdades (resolver para
). - Interpretação e modelagem matemática de um processo real.
Passo 8
Sim, é interdisciplinar. Justificativa curta:
- Matemática: exige raciocínio com progressões geométricas, exponenciais discretas e desigualdades.
- Ciências biomédicas/epidemiologia: traduz um processo real de incidência de doença ano a ano; modelagem do progresso de uma condição em população.
- Também toca em raciocínios úteis em demografia e ciências sociais (modelos de sobrevivência/distribuição temporal de eventos).
Resposta
Progressões geométricas / decaimento exponencial discreto, desigualdades e modelagem matemática.
Sim. Porque combina matemática (modelagem geométrica/exponencial) com noções de epidemiologia/biologia (incidência anual de uma doença), ou seja, aplica conceitos matemáticos para explicar um fenômeno de saúde pública.
Sim. Porque combina matemática (modelagem geométrica/exponencial) com noções de epidemiologia/biologia (incidência anual de uma doença), ou seja, aplica conceitos matemáticos para explicar um fenômeno de saúde pública.