Seu Pedro cria galinhas e todos os dias ele conta os ovos que as galinha postaram naquele dia. Em um determinado dia ele verificou que quando contava os ovos de 2 em 2, sobrava 1; contando de 3 em 3 sobrava 1; de 5 em 5 sobrava 1, mas de 7 em e não sobrava nenhum. Qual o número de ovos postados pelas galinhas naquele dia?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o problema pede e o que nos foi dado.
Pergunta: Qual é o número de ovos postados naquele dia?
Informações do enunciado (pegas diretamente do enunciado):
Ao contar de 2 em 2, sobra 1 ovo. Ou seja, o número de ovos deixa resto 1 na divisão por 2.
Ao contar de 3 em 3, sobra 1 ovo. Ou seja, o número de ovos deixa resto 1 na divisão por 3.
Ao contar de 5 em 5, sobra 1 ovo. Ou seja, o número de ovos deixa resto 1 na divisão por 5.
Ao contar de 7 em 7, não sobra nenhum ovo. Ou seja, o número de ovos é divisível por 7.
Resumo em linguagem de congruências (para usar depois):
\begin{cases} N \equiv 1 \pmod{2},\\[4pt] N \equiv 1 \pmod{3},\\[4pt] N \equiv 1 \pmod{5},\\[4pt] N \equiv 0 \pmod{7}. \end{cases}]
Passo 2
Entenda a ideia que vamos usar (mini-aula rápida e amigável sobre congruências).
Quando dizemos N \equiv a \pmod{m} significa que m divide N-a: isto é, existe inteiro k tal que N = a + km.
Se temos várias congruências do tipo N \equiv 1 para módulos diferentes, podemos tentar combiná-las usando o mínimo comum múltiplo (MMC, em inglês lcm) dos módulos, quando os restos são iguais.
Aqui as três primeiras congruências têm o mesmo resto 1. Então podemos juntar: se N\equiv1\pmod{2}, N\equiv1\pmod{3} e N\equiv1\pmod{5}, então N\equiv1 modulo o \operatorname{lcm}(2,3,5).
Passo 3
Calcular o MMC (lcm) de 2, 3 e 5.
Os números 2, 3 e 5 são primos entre si, então
\operatorname{lcm}(2,3,5)=2\cdot3\cdot5=30.
Portanto as três condições juntas equivalem a
N \equiv 1 \pmod{30}.
Passo 4
Transformar a congruência em forma algébrica que dá um parâmetro inteiro.
A congruência N \equiv 1 \pmod{30} significa que existe inteiro t tal que
N = 30t + 1.
Agora impomos também a condição de divisibilidade por 7: N\equiv0\pmod{7}.
Passo 5
Substituir N=30t+1 na condição de divisibilidade por 7 e trabalhar em aritmética modular.
Queremos 30t+1 \equiv 0 \pmod{7}.
Isso é equivalente a
30t \equiv -1 \pmod{7}.
Em módulo 7, -1\equiv 6. Então podemos escrever
30t \equiv 6 \pmod{7}.
Passo 6
Reduzir coeficientes módulo 7 para simplificar a equação.
Calcule 30 \bmod 7. Como 28 é múltiplo de 7, temos 30 \equiv 30-28 \equiv 2 \pmod{7}.
Substituindo,
2t \equiv 6 \pmod{7}.
Passo 7
Resolver 2t \equiv 6 \pmod{7}. Mini-aula: como resolver uma congruência linear.
Para resolver 2t \equiv 6 \pmod{7}, precisamos do inverso multiplicativo de 2 módulo 7. O inverso u satisfaz 2u \equiv 1 \pmod{7}.
Testando pequenos u: 2\cdot4=8\equiv1\pmod{7}. Logo o inverso de 2 módulo 7 é 4.