Em uma gaiola contém 10 camundongo, sendo cinco de cada sexo. Considere Evento
Fêmea, Evento
Macho eque as retiradas sejam um de cada vez e sem reposição.
Ao retirar dois camundongos, qual é a probabilidade de retirar duas fêmeas?
Ao retirar dois camundongos, qual é a probabilidade de retirar duas fêmeas?
Passo 1
O enunciado diz: numa gaiola há
camundongos, sendo
fêmeas e
machos. As retiradas são uma de cada vez e sem reposição. Pergunta: ao retirar dois camundongos, qual é a probabilidade de retirar duas fêmeas?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Total inicial de camundongos:
. - Número de fêmeas inicialmente:
. - As retiradas são sem reposição (ou seja, depois de retirar o primeiro, sobra uma menos no total).
- Queremos a probabilidade do evento “primeiro retirado é fêmea E segundo retirado é fêmea”.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): vamos usar a regra do produto para probabilidades de dois eventos sucessivos sem reposição. A regra diz que, para dois eventos
e
,
onde
é a probabilidade de
ocorrer dado que
já ocorreu (probabilidade condicional). Vou explicar o que isso significa:
é a chance do primeiro evento acontecer;
é a chance do segundo evento acontecer quando já sabemos que o primeiro ocorreu — aqui isso muda porque o total e a composição da população mudaram por causa da retirada sem reposição.
Passo 3
Calcular
. Antes de qualquer retirada há
fêmeas entre
camundongos, então
Explicando: a probabilidade é razão entre o número de casos favoráveis (
fêmeas) e o número total de casos possíveis (
camundongos).
Passo 4
Calcular
. Se a primeira retirada foi uma fêmea, então restam
fêmeas e o total restante é
camundongos. Portanto
Explicando: depois da primeira retirada bem-sucedida, o espaço amostral diminui e o número de elementos favoráveis também diminui, então usamos essa nova razão.
Passo 5
Aplicar a regra do produto para obter a probabilidade desejada:
Substituindo os valores:
Agora simplificando passo a passo:
Expliquei cada simplificação:
, depois multipliquei numeradores e denominadores e simplifiquei por
.
Passo 6
Cheguei ao resultado. Só para reforçar a compreensão, mostro rapidamente um método alternativo (contagem/combinatória) que dá o mesmo valor: o número de maneiras de escolher
fêmeas dentre
é
e o número de maneiras de escolher quaisquer
camundongos dentre
é
. Assim
o que confirma o resultado anterior.