Em uma gaiola contém 10 camundongo, sendo cinco de cada sexo. Considere Evento \mathrm{F}= Fêmea, Evento \mathrm{M}= Macho eque as retiradas sejam um de cada vez e sem reposição.
Ao retirar dois camundongos, qual é a probabilidade de retirar duas fêmeas?

Passo 1

O enunciado diz: numa gaiola há 10 camundongos, sendo 5 fêmeas e 5 machos. As retiradas são uma de cada vez e sem reposição. Pergunta: ao retirar dois camundongos, qual é a probabilidade de retirar duas fêmeas?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Total inicial de camundongos: \,10.
  • Número de fêmeas inicialmente: \,5.
  • As retiradas são sem reposição (ou seja, depois de retirar o primeiro, sobra uma menos no total).
  • Queremos a probabilidade do evento “primeiro retirado é fêmea E segundo retirado é fêmea”.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): vamos usar a regra do produto para probabilidades de dois eventos sucessivos sem reposição. A regra diz que, para dois eventos A e B,
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A),
onde P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu (probabilidade condicional). Vou explicar o que isso significa: P(A) é a chance do primeiro evento acontecer; P(B\mid A) é a chance do segundo evento acontecer quando já sabemos que o primeiro ocorreu — aqui isso muda porque o total e a composição da população mudaram por causa da retirada sem reposição.

Passo 3

Calcular P(\text{primeira é fêmea})éê. Antes de qualquer retirada há 5 fêmeas entre 10 camundongos, então
P(\text{1ª é fêmea})=\frac{5}{10}.ªéê
Explicando: a probabilidade é razão entre o número de casos favoráveis ( 5 fêmeas) e o número total de casos possíveis ( 10 camundongos).

Passo 4

Calcular P(\text{segunda é fêmea} \mid \text{primeira é fêmea})éêéê. Se a primeira retirada foi uma fêmea, então restam 4 fêmeas e o total restante é 9 camundongos. Portanto
P(\text{2ª é fêmea}\mid\text{1ª é fêmea})=\frac{4}{9}.ªéêªéê
Explicando: depois da primeira retirada bem-sucedida, o espaço amostral diminui e o número de elementos favoráveis também diminui, então usamos essa nova razão.

Passo 5

Aplicar a regra do produto para obter a probabilidade desejada:
P(\text{duas fêmeas})=P(\text{1ª é fêmea})\cdot P(\text{2ª é fêmea}\mid\text{1ª é fêmea}).êªéêªéêªéê
Substituindo os valores:
P(\text{duas fêmeas})=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}.ê
Agora simplificando passo a passo:
\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}.
Expliquei cada simplificação: \frac{5}{10}=\frac{1}{2}, depois multipliquei numeradores e denominadores e simplifiquei por 2.

Passo 6

Cheguei ao resultado. Só para reforçar a compreensão, mostro rapidamente um método alternativo (contagem/combinatória) que dá o mesmo valor: o número de maneiras de escolher 2 fêmeas dentre 5 é \binom{5}{2} e o número de maneiras de escolher quaisquer 2 camundongos dentre 10 é \binom{10}{2}. Assim
P(\text{duas fêmeas})=\frac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9},ê
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{2}{9}\approx0{,}222\ldots

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