Em uma gaiola contém 10 camundongo, sendo cinco de cada sexo. Considere Evento \mathrm{F}= Fêmea, Evento \mathrm{M}= Macho eque as retiradas sejam um de cada vez e sem reposição.
Ao retirar três camundongos, qual é a probabilidade de retirar alternadamente animais de sexo diferente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informações dadas:
    • 10 camundongos na gaiola.
    • São 5 fêmeas e 5 machos.
    • As retiradas são feitas uma a uma, sem reposição.
    • Retiramos 3 camundongos no total.
  • Pergunta:
    • Qual é a probabilidade de que, nas três retiradas, os animais venham em ordem de sexos alternados (ou seja, sexo diferente a cada retirada consecutiva)?

Passo 2

Entendendo o que significa “alternadamente animais de sexo diferente” para três retiradas:
  • Com três posições, as sequências de sexos que satisfazem alternância são apenas duas possibilidades ordenadas:
    1. Fêmea, Macho, Fêmea (vou escrever como F M F)
    2. Macho, Fêmea, Macho (vou escrever como M F M)
A probabilidade pedida é a soma das probabilidades dessas duas sequências disjuntas:
P(\text{alternância}) = P(F M F) + P(M F M).â

Passo 3

Ferramenta básica que vamos usar (explicação didática):
  • Regra de multiplicação para probabilidades condicionais: P(A\cap B) = P(A)\,P(B\mid A).Para três eventos em sequência: P(A\cap B\cap C) = P(A)\,P(B\mid A)\,P(C\mid A\cap B).
  • O que significa P(B\mid A): é a probabilidade de B acontecer sabendo que A já aconteceu; aqui isso traduz-se em ajustar o número de animais disponíveis depois da primeira retirada (porque não há reposição).

Passo 4

Calcule P(F M F) passo a passo (explicando cada número):
  • Probabilidade da primeira ser fêmea: P(\text{1ª}=F)=\frac{5}{10},ªpois há 5 fêmeas entre 10 animais.
  • Dada a primeira fêmea retirada, restam 9 animais, dos quais 5 são machos. Então a probabilidade da segunda ser macho é P(\text{2ª}=M \mid \text{1ª}=F)=\frac{5}{9}.ªª
  • Depois de retirar F e M, restam 8 animais, sendo agora 4 fêmeas. A probabilidade da terceira ser fêmea é P(\text{3ª}=F \mid \text{1ª}=F,\text{2ª}=M)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.ªªª
  • Aplicando a regra de multiplicação: P(F M F)=\frac{5}{10}\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}.

Passo 5

Simplifique a expressão de P(F M F):
P(F M F)=\frac{5}{10}\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8} =\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{2} =\frac{5}{36}.
Expliquei: usei \frac{5}{10}=\frac{1}{2} e \frac{4}{8}=\frac{1}{2} para simplificar.

Passo 6

Calcule P(M F M) de forma análoga (vai dar o mesmo resultado por simetria):
  • Primeiro ser macho: P(\text{1ª}=M)=\frac{5}{10}ª.
  • Segundo ser fêmea dado que o primeiro foi macho: P(\text{2ª}=F\mid \text{1ª}=M)=\frac{5}{9}ªª.
  • Terceiro ser macho dado as duas primeiras: P(\text{3ª}=M\mid \text{1ª}=M,\text{2ª}=F)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}ªªª.
  • Multiplicando: P(M F M)=\frac{5}{10}\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}=\frac{5}{36}.

Passo 7

Some as duas probabilidades para obter a probabilidade final:
P(\text{alternância}) = P(F M F)+P(M F M)=\frac{5}{36}+\frac{5}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}.â

Passo 8

Verificação alternativa (controle por contagem de sequências ordenadas):
  • Número total de sequências ordenadas de 3 retiradas sem reposição: 10\cdot 9\cdot 8 = 720.
  • Número de sequências que são F M F: 5 escolhas para a 1ª fêmea \times 5 escolhas para o macho \times 4 escolhas para a fêmea final =100.
  • Mesma conta para M F M: 100.
  • Total favorável =200. Logo probabilidade =200/720=5/18, confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{5}{18}

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