Em uma gaiola contém 10 camundongo, sendo cinco de cada sexo. Considere Evento
Fêmea, Evento
Macho eque as retiradas sejam um de cada vez e sem reposição.
Ao retirar três camundongos, qual é a probabilidade de retirar alternadamente animais de sexo diferente?
Ao retirar três camundongos, qual é a probabilidade de retirar alternadamente animais de sexo diferente?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
-
Informações dadas:
- Há
camundongos na gaiola. - São
fêmeas e machos. - As retiradas são feitas uma a uma, sem reposição.
- Retiramos
camundongos no total.
- Há
-
Pergunta:
- Qual é a probabilidade de que, nas três retiradas, os animais venham em ordem de sexos alternados (ou seja, sexo diferente a cada retirada consecutiva)?
Passo 2
Entendendo o que significa “alternadamente animais de sexo diferente” para três retiradas:
- Com três posições, as sequências de sexos que satisfazem alternância são apenas duas possibilidades ordenadas:
- Fêmea, Macho, Fêmea (vou escrever como
) - Macho, Fêmea, Macho (vou escrever como
)
- Fêmea, Macho, Fêmea (vou escrever como
A probabilidade pedida é a soma das probabilidades dessas duas sequências disjuntas:
Passo 3
Ferramenta básica que vamos usar (explicação didática):
- Regra de multiplicação para probabilidades condicionais:
Para três eventos em sequência: - O que significa
: é a probabilidade de acontecer sabendo que já aconteceu; aqui isso traduz-se em ajustar o número de animais disponíveis depois da primeira retirada (porque não há reposição).
Passo 4
Calcule
passo a passo (explicando cada número):
- Probabilidade da primeira ser fêmea:
pois há fêmeas entre animais. - Dada a primeira fêmea retirada, restam
animais, dos quais são machos. Então a probabilidade da segunda ser macho é - Depois de retirar
e , restam animais, sendo agora fêmeas. A probabilidade da terceira ser fêmea é - Aplicando a regra de multiplicação:
Passo 5
Simplifique a expressão de
:
Expliquei: usei
e
para simplificar.
Passo 6
Calcule
de forma análoga (vai dar o mesmo resultado por simetria):
- Primeiro ser macho:
. - Segundo ser fêmea dado que o primeiro foi macho:
. - Terceiro ser macho dado as duas primeiras:
. - Multiplicando:
Passo 7
Some as duas probabilidades para obter a probabilidade final:
Passo 8
Verificação alternativa (controle por contagem de sequências ordenadas):
- Número total de sequências ordenadas de
retiradas sem reposição: - Número de sequências que são
: escolhas para a 1ª fêmea escolhas para o macho escolhas para a fêmea final . - Mesma conta para
: . - Total favorável
. Logo probabilidade , confirma o resultado anterior.