Exercício 15. A probabilidade de que a porta de sua casa esteja trancada à chave é 3 / 5. Você tem um chaveiro com 10 chaves e apenas uma destranca a porta. Qual é a probabilidade de você entrar na casa, podendo, se necessário, utilizar apenas uma chave do chaveiro? Considere que a escolha da chave deve ser ao acaso, ou seja, cada chave tem a mesma chance de ser escolhida e que os eventos (Porta Trancada à chave e escolha da chave no chaveiro) são independentes. (Utilize 4 casas decimais). Resp.: 0.46

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de você conseguir entrar em casa, sabendo que:
  • A probabilidade da porta estar trancada à chave é \displaystyle P(\text{trancada})=\frac{3}{5}.
  • Você tem um chaveiro com 10 chaves e apenas uma destranca a porta; a escolha da chave é ao acaso (cada chave tem igual chance).
  • Os eventos “porta trancada” e “escolha da chave” são independentes.
    Pergunta explícita: qual é a probabilidade de entrar na casa, podendo usar no máximo uma chave? (usar 4 casas decimais)

Passo 2

Definimos eventos para ficar claro:
  • Seja L o evento “porta trancada”.
  • Seja U o evento “porta destrancada” (ou seja, U = L^{c}).
  • Seja C o evento “escolher a chave correta”.
    Das informações do enunciado temos:
P(L)=\frac{3}{5}.
Como U é o complementar de L,
P(U)=1-P(L)=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}.
Escolhendo a chave ao acaso entre 10, a probabilidade de escolher a correta é
P\text{(C)}=\frac{1}{10}.

Passo 3

Explicando a independência (passo didático): dizer que os eventos são independentes significa que a chance de escolher a chave correta não depende de a porta estar trancada ou não. Em termos de probabilidade isso implica
P(C\mid L)=P\text{(C)}.
Uma consequência útil é que a probabilidade do encontro dos dois eventos é produto:
P(L\cap C)=P(L)\,P\text{(C)}.
Exemplo simples: se jogar uma moeda e ao mesmo tempo tirar uma carta, o resultado da moeda não altera a chance da carta — é a mesma ideia.

Passo 4

Descrevendo o evento “entrar na casa”: você entra se ou (i) a porta estiver destrancada ( U) — então entra sem usar chave — ou (ii) a porta estiver trancada ( L) e você pegar a chave correta ( C). Em símbolos:
E = U \;\cup\; (L\cap C).
Esses dois casos são mutuamente exclusivos (disjuntos), porque não é possível a porta estar simultaneamente destrancada e trancada. Assim a probabilidade de entrar é soma das probabilidades desses casos:
P(E)=P(U)+P(L\cap C).

Passo 5

Usamos a independência para substituir P(L\cap C) por P(L)P\text{(C)}. Portanto:
P(E)=P(U)+P(L)\,P\text{(C)}.
Agora substituímos os valores que já temos:
P(E)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{10}.

Passo 6

Fazendo as contas com frações, passo a passo (para você poder fazer sem calculadora):
\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{10}=\frac{3}{50}.
Então
P(E)=\frac{2}{5}+\frac{3}{50}.
Colocando com denominador comum 50:
\frac{2}{5}=\frac{20}{50},
logo
P(E)=\frac{20}{50}+\frac{3}{50}=\frac{23}{50}.

Passo 7

Convertendo \displaystyle \frac{23}{50} em decimal:
\frac{23}{50}=0,46.
Pediram 4 casas decimais, então escrevemos com 4 casas:
0,4600.
Respira — deu certinho!

Resposta

0,4600

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