Exercício 15. A probabilidade de que a porta de sua casa esteja trancada à chave é
. Você tem um chaveiro com 10 chaves e apenas uma destranca a porta. Qual é a probabilidade de você entrar na casa, podendo, se necessário, utilizar apenas uma chave do chaveiro? Considere que a escolha da chave deve ser ao acaso, ou seja, cada chave tem a mesma chance de ser escolhida e que os eventos (Porta Trancada à chave e escolha da chave no chaveiro) são independentes. (Utilize 4 casas decimais). Resp.: 0.46
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de você conseguir entrar em casa, sabendo que:
- A probabilidade da porta estar trancada à chave é
. - Você tem um chaveiro com 10 chaves e apenas uma destranca a porta; a escolha da chave é ao acaso (cada chave tem igual chance).
- Os eventos “porta trancada” e “escolha da chave” são independentes.
Pergunta explícita: qual é a probabilidade de entrar na casa, podendo usar no máximo uma chave? (usar 4 casas decimais)
Passo 2
Definimos eventos para ficar claro:
- Seja
o evento “porta trancada”. - Seja
o evento “porta destrancada” (ou seja, ). - Seja
o evento “escolher a chave correta”.
Das informações do enunciado temos:
Como
é o complementar de
,
Escolhendo a chave ao acaso entre 10, a probabilidade de escolher a correta é
Passo 3
Explicando a independência (passo didático): dizer que os eventos são independentes significa que a chance de escolher a chave correta não depende de a porta estar trancada ou não. Em termos de probabilidade isso implica
Uma consequência útil é que a probabilidade do encontro dos dois eventos é produto:
Exemplo simples: se jogar uma moeda e ao mesmo tempo tirar uma carta, o resultado da moeda não altera a chance da carta — é a mesma ideia.
Passo 4
Descrevendo o evento “entrar na casa”: você entra se ou (i) a porta estiver destrancada (
) — então entra sem usar chave — ou (ii) a porta estiver trancada (
) e você pegar a chave correta (
). Em símbolos:
Esses dois casos são mutuamente exclusivos (disjuntos), porque não é possível a porta estar simultaneamente destrancada e trancada. Assim a probabilidade de entrar é soma das probabilidades desses casos:
Passo 5
Usamos a independência para substituir
por
. Portanto:
Agora substituímos os valores que já temos:
Passo 6
Fazendo as contas com frações, passo a passo (para você poder fazer sem calculadora):
Então
Colocando com denominador comum
:
logo
Passo 7
Convertendo
em decimal:
Pediram 4 casas decimais, então escrevemos com 4 casas:
Respira — deu certinho!