Em uma galáxia muito, muito distante, um planeta composto de um líquido incompressível de densidade de massa uniforme
tem massa
e raio
. Determine a pressão a meio caminho entre a superfície e o centro do planeta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um planeta feito de um líquido incompressível com densidade uniforme
, massa
e raio
. A gente precisa descobrir qual é a pressão a meio caminho entre a superfície e o centro desse planeta. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre pressão em fluidos e gravitação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa pressão dentro de um planeta. A pressão em um ponto dentro de um líquido ou fluido é causada pelo peso das camadas acima desse ponto. Quanto mais profundo você for, maior será a pressão devido a mais peso de líquido acima.
Passo 3
Como a densidade do planeta é uniforme e o líquido é incompressível, podemos simplificar os cálculos. A densidade uniforme significa que a massa está distribuída igualmente em todo o volume do planeta.
Passo 4
Vamos calcular a massa total do planeta usando a fórmula da massa de uma esfera:
Isso nos ajuda a relacionar a massa, o raio e a densidade do planeta.
Passo 5
Agora, para encontrar a pressão a meio caminho entre a superfície e o centro, ou seja, a uma profundidade de
, usamos a fórmula da pressão em um fluido em equilíbrio hidrostático:
Aqui,
é a constante gravitacional.
Passo 6
Substituindo
na fórmula:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 7
Então, a pressão fica:
Resposta
A pressão a meio caminho entre a superfície e o centro do planeta é: