Em uma galáxia muito, muito distante, um planeta composto de um líquido incompressível de densidade de massa uniforme rho tem massa m planeta e raio R. Determine a pressão a meio caminho entre a superfície e o centro do planeta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um planeta feito de um líquido incompressível com densidade uniforme rho, massa mplaneta e raio R. A gente precisa descobrir qual é a pressão a meio caminho entre a superfície e o centro desse planeta. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre pressão em fluidos e gravitação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa pressão dentro de um planeta. A pressão em um ponto dentro de um líquido ou fluido é causada pelo peso das camadas acima desse ponto. Quanto mais profundo você for, maior será a pressão devido a mais peso de líquido acima.

Passo 3

Como a densidade do planeta é uniforme e o líquido é incompressível, podemos simplificar os cálculos. A densidade uniforme significa que a massa está distribuída igualmente em todo o volume do planeta.

Passo 4

Vamos calcular a massa total do planeta usando a fórmula da massa de uma esfera:
mplaneta = 43 pi R^3 rho
Isso nos ajuda a relacionar a massa, o raio e a densidade do planeta.

Passo 5

Agora, para encontrar a pressão a meio caminho entre a superfície e o centro, ou seja, a uma profundidade de r = R2, usamos a fórmula da pressão em um fluido em equilíbrio hidrostático:
P(r) = 23 pi G rho^2 (R^2 - r^2)
Aqui, G é a constante gravitacional.

Passo 6

Substituindo r = R2 na fórmula:
P(R2) = 23 pi G rho^2 (R^2 - (R2)^2)
Simplificando dentro dos parênteses:
R^2 - R^24 = 3R^24

Passo 7

Então, a pressão fica:
P(R2) = 23 pi G rho^2 cdot 3R^24 = 23 cdot 34 pi G rho^2 R^2 = 12 pi G rho^2 R^2

Resposta

A pressão a meio caminho entre a superfície e o centro do planeta é:
P(R2) = 12 pi G rho^2 R^2

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