Qual é a probabilidade de que um elétron seja encontrado no estado 1s de um átomo de hidrogênio a uma distância superior que do núcleo? (Considere o raio de Bohr igual a ). Dica: A função de onda do estado fundamental é do átomo de hidrogênio e o elemento de volume é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer saber qual a probabilidade de encontrar um elétron no estado 1s de um átomo de hidrogênio a uma distância maior que o raio de Bohr () do núcleo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a função de onda do estado fundamental e o cálculo de probabilidades através de integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região do espaço é dada pelo quadrado da função de onda multiplicado pelo elemento de volume . A função de onda fornecida é:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
A probabilidade que queremos é de , ou seja, queremos integrar a densidade de probabilidade de até o infinito. Então, a probabilidade é:
Passo 4
Vamos calcular :
Passo 5
Substituindo |psi1s(r)|^2 e dv na integral:
P = integrala0^infty 1pi a0^3 e^-2r / a0 cdot 4pi r^2 dr
Passo 6
Simplificando a expressão:
P = 4a0^3 integrala0^infty r^2 e^-2r / a0 dr
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja x = 2ra0, então r = a0 x2 e dr = a02 dx. Substituindo: