Qual é a probabilidade de que um elétron seja encontrado no estado 1s de um átomo de hidrogênio a uma distância superior que a0 do núcleo? (Considere o raio de Bohr igual a a0). Dica: A função de onda do estado fundamental é do átomo de hidrogênio psi1 s(r)=1raizpi a0^3 e^-r / a0 e o elemento de volume é d v=4 pi r^2 d r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber qual a probabilidade de encontrar um elétron no estado 1s de um átomo de hidrogênio a uma distância maior que o raio de Bohr ( a0) do núcleo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a função de onda do estado fundamental e o cálculo de probabilidades através de integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região do espaço é dada pelo quadrado da função de onda psi1s(r) multiplicado pelo elemento de volume dv. A função de onda fornecida é:
psi1s(r) = 1raizpi a0^3 e^-r / a0
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dv = 4pi r^2 dr

Passo 3

A probabilidade que queremos é de r > a0, ou seja, queremos integrar a densidade de probabilidade de a0 até o infinito. Então, a probabilidade P é:
P = integrala0^infty |psi1s(r)|^2 , dv

Passo 4

Vamos calcular |psi1s(r)|^2:
|psi1s(r)|^2 = (1raizpi a0^3 e^-r / a0)^2 = 1pi a0^3 e^-2r / a0

Passo 5

Substituindo |psi1s(r)|^2 e dv na integral:
P = integrala0^infty 1pi a0^3 e^-2r / a0 cdot 4pi r^2 dr

Passo 6

Simplificando a expressão:
P = 4a0^3 integrala0^infty r^2 e^-2r / a0 dr

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja x = 2ra0, então r = a0 x2 e dr = a02 dx. Substituindo:
P = 4a0^3 cdot ( a02 )^3 integral2^infty ( a0 x2 )^2 e^-x dx

Passo 8

Simplificando mais:
P = 4a0^3 cdot a0^38 integral2^infty a0^2 x^24 e^-x dx = 12 integral2^infty x^2 e^-x dx

Passo 9

Agora, precisamos calcular a integral integral2^infty x^2 e^-x dx. Sabemos que:
integral x^n e^-x dx = -x^n e^-x + n integral x^n-1 e^-x dx
Para n=2, aplicando a integração por partes, temos:
integral2^infty x^2 e^-x dx = e^-2 (2^2 + 2 cdot 2 + 2) = e^-2(4 + 4 + 2) = 10 e^-2

Passo 10

Substituindo de volta na expressão de P:
P = 12 cdot 10 e^-2 = 5 e^-2

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron no estado 1s a uma distância superior a a0 do núcleo é 5 e^-2 approx 0,6767, ou seja, aproximadamente 67,67 %.

Exercícios relacionados