Uma tampa redonda de zinco, cujo diâmetro interno é de 100 mm , se prendeu totalmente à rosca de um recipiente de vidro vazio e não se solta facilmente na temperatura ambiente de 20^{\circ} \mathrm{C}. Considerando um coeficiente de dilatação térmica linear do vidro e do zinco de, respectivamente, 10 \times 10-{ }^{6 \circ} \mathrm{C}-{ }^{-1} e 30 \times 10-{ }^{6 \circ} \mathrm{C}-1, qual deve ser a temperatura minima do conjunto vidro-tampa para que a abertura do recipiente seja facilitada por uma dilatação térmica suficiente para que haja uma diferença entre o diâmetro da parte externa da rosca do vidro e o diâmetro interno da tampa de zinco de 0,1 \mathrm{~mm} ?

Passo 1

Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: o diâmetro interno da tampa de zinco é \,100\\ \mathrm{mm} à temperatura ambiente de \,20^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: coeficientes lineares de dilatação: \alpha_{\text{vidro}} = 10\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}, \qquad \alpha_{\text{zinco}} = 30\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Dado implícito (assumimos porque a tampa “se prendeu totalmente” à rosca): à \,20^\circ\mathrm{C} o diâmetro externo da rosca do vidro é igual ao diâmetro interno da tampa, ou seja, ambos valem \,100\\ \mathrm{mm}.
  • Pedido: qual a temperatura mínima do conjunto vidro–tampa para que a abertura seja facilitada por dilatação térmica suficiente, isto é, para que a diferença entre o diâmetro interno da tampa de zinco e o diâmetro externo da rosca do vidro seja \,0{,}1\\ \mathrm{mm} (ou seja, que a tampa fique \,0{,}1\\ \mathrm{mm} maior que a rosca)?
Observação importante: interpretei que a diferença desejada é
\text{diâmetro da tampa} - \text{diâmetro da rosca} = 0{,}1\\ \mathrm{mm},ââ
pois isso corresponde à tampa “folgando” sobre a rosca ao aquecer (o zinco dilata mais que o vidro).

Passo 2

Revisão da fórmula de dilatação linear (a ferramenta que vamos usar).
  • A dilatação linear diz que um comprimento qualquer L à temperatura T relaciona-se com seu comprimento inicial L_0 à temperatura T_0 por:
L = L_0\bigl(1 + \alpha\,(T-T_0)\bigr).
  • Aqui:
    • L_0 é a medida inicial (por ex. diâmetro inicial),
    • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
    • T-T_0 é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}),
    • L é o comprimento (ou diâmetro) na nova temperatura T.
  • Aplicação ao nosso problema: tanto o diâmetro externo da rosca do vidro quanto o diâmetro interno da tampa se alteram segundo essa fórmula (os diâmetros se comportam como comprimentos lineares).

Passo 3

Escrever as expressões dos diâmetros na temperatura T.
  • Denotemos a temperatura inicial T_0 = 20^\circ\mathrm{C} e o diâmetro inicial comum d_0 = 100\\ \mathrm{mm}.
  • A variação de temperatura é \Delta T = T - T_0.
  • Então: \text{diâmetro do vidro a }T:\quad d_{\text{vidro}}(T) = d_0\bigl(1 + \alpha_{\text{vidro}}\Delta T\bigr),â
\text{diâmetro da tampa a }T:\quad d_{\text{zinco}}(T) = d_0\bigl(1 + \alpha_{\text{zinco}}\Delta T\bigr).â
  • Explico cada símbolo:
    • d_0 = 100\\ \mathrm{mm} é o diâmetro inicial (igual para os dois à 20^\circ\mathrm{C}),
    • \alpha_{\text{vidro}} e \alpha_{\text{zinco}} são os coeficientes dados,
    • \Delta T é quanto a temperatura subiu em relação a 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Escrever a condição exigida pelo enunciado e simplificar.
  • Queremos que a tampa fique maior que a rosca em \,0{,}1\\ \mathrm{mm}, isto é: d_{\text{zinco}}(T) - d_{\text{vidro}}(T) = 0{,}1\\ \mathrm{mm}.
  • Substituindo as expressões do passo anterior: d_0\bigl(1 + \alpha_{\text{zinco}}\Delta T\bigr) - d_0\bigl(1 + \alpha_{\text{vidro}}\Delta T\bigr) = 0{,}1.
  • Isso simplifica para: d_0\bigl(\alpha_{\text{zinco}} - \alpha_{\text{vidro}}\bigr)\Delta T = 0{,}1.

Passo 5

Calcular numericamente \Delta T e a temperatura final T.
  • Primeiro calculemos \alpha_{\text{zinco}} - \alpha_{\text{vidro}}: \alpha_{\text{zinco}} - \alpha_{\text{vidro}} = 30\times10^{-6} - 10\times10^{-6} = 20\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • O produto d_0(\alpha_{\text{zinco}} - \alpha_{\text{vidro}}) é: 100\cdot\bigl(20\times10^{-6}\bigr) = 100\cdot20\times10^{-6} = 0{,}002\\ \mathrm{mm/^\circ C}.
  • Agora \Delta T vem de \Delta T = \frac{0{,}1}{d_0(\alpha_{\text{zinco}} - \alpha_{\text{vidro}})} = \frac{0{,}1}{0{,}002} = 50\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Finalmente, a temperatura mínima requerida é T = T_0 + \Delta T = 20^\circ\mathrm{C} + 50^\circ\mathrm{C} = 70^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Breve verificação e comentário prático (rápida e amigável).
  • Verificação rápida: como o zinco tem coeficiente maior, ao aquecer a tampa aumenta mais que o vidro; \,50^\circ\mathrm{C} de aumento num diâmetro de 100\\ \mathrm{mm} com diferença de \,20\times10^{-6} por grau dá exatamente \,0{,}1\\ \mathrm{mm}, então o cálculo faz sentido.
  • Comentário prático: aquecer o conjunto até cerca de \,70^\circ\mathrm{C} (por exemplo, água quente) deve folgar a tampa — tome cuidado com segurança e choque térmico no vidro.

Resposta

70^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados