Uma tampa redonda de zinco, cujo diâmetro interno é de 100 mm , se prendeu totalmente à rosca de um recipiente de vidro vazio e não se solta facilmente na temperatura ambiente de
. Considerando um coeficiente de dilatação térmica linear do vidro e do zinco de, respectivamente,
e
, qual deve ser a temperatura minima do conjunto vidro-tampa para que a abertura do recipiente seja facilitada por uma dilatação térmica suficiente para que haja uma diferença entre o diâmetro da parte externa da rosca do vidro e o diâmetro interno da tampa de zinco de
?
Passo 1
Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: o diâmetro interno da tampa de zinco é
à temperatura ambiente de . - Dado: coeficientes lineares de dilatação:
- Dado implícito (assumimos porque a tampa “se prendeu totalmente” à rosca): à
o diâmetro externo da rosca do vidro é igual ao diâmetro interno da tampa, ou seja, ambos valem . - Pedido: qual a temperatura mínima do conjunto vidro–tampa para que a abertura seja facilitada por dilatação térmica suficiente, isto é, para que a diferença entre o diâmetro interno da tampa de zinco e o diâmetro externo da rosca do vidro seja
(ou seja, que a tampa fique maior que a rosca)?
Observação importante: interpretei que a diferença desejada é
pois isso corresponde à tampa “folgando” sobre a rosca ao aquecer (o zinco dilata mais que o vidro).
Passo 2
Revisão da fórmula de dilatação linear (a ferramenta que vamos usar).
- A dilatação linear diz que um comprimento qualquer
à temperatura relaciona-se com seu comprimento inicial à temperatura por:
- Aqui:
-
é a medida inicial (por ex. diâmetro inicial), -
é o coeficiente de dilatação linear (unidade ), -
é a variação de temperatura (em ), -
é o comprimento (ou diâmetro) na nova temperatura .
-
- Aplicação ao nosso problema: tanto o diâmetro externo da rosca do vidro quanto o diâmetro interno da tampa se alteram segundo essa fórmula (os diâmetros se comportam como comprimentos lineares).
Passo 3
Escrever as expressões dos diâmetros na temperatura
.
- Denotemos a temperatura inicial
e o diâmetro inicial comum . - A variação de temperatura é
. - Então:
- Explico cada símbolo:
-
é o diâmetro inicial (igual para os dois à ), -
e são os coeficientes dados, -
é quanto a temperatura subiu em relação a .
-
Passo 4
Escrever a condição exigida pelo enunciado e simplificar.
- Queremos que a tampa fique maior que a rosca em
, isto é: - Substituindo as expressões do passo anterior:
- Isso simplifica para:
Passo 5
Calcular numericamente
e a temperatura final
.
- Primeiro calculemos
: - O produto
é: - Agora
vem de - Finalmente, a temperatura mínima requerida é
Passo 6
Breve verificação e comentário prático (rápida e amigável).
- Verificação rápida: como o zinco tem coeficiente maior, ao aquecer a tampa aumenta mais que o vidro;
de aumento num diâmetro de com diferença de por grau dá exatamente , então o cálculo faz sentido. - Comentário prático: aquecer o conjunto até cerca de
(por exemplo, água quente) deve folgar a tampa — tome cuidado com segurança e choque térmico no vidro.