Galileu mostrou que se for desprezada a resistência do ar, os alcances dos projéteis, disparados com ângulos simétricos em relação à reta que tem inclinação de 45^{\circ} com a horizontal, são iguais. Prove esta afirmação.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, desprezando a resistência do ar, dois projéteis lançados com a mesma velocidade inicial e com ângulos que são simétricos em relação à reta que faz \,45^\circ com a horizontal têm o mesmo alcance.
Informações e hipóteses dadas (explicitadas):
  • Aceleração da gravidade é constante e vertical para baixo, com magnitude \,g.
  • Os dois projéteis têm a mesma velocidade inicial, que vou chamar de \,v.
  • Um projétil é lançado com ângulo \,\theta em relação à horizontal; o outro é lançado com o ângulo simétrico em relação à reta a 45^\circ. A reflexão de um ângulo \,\theta em relação à reta de inclinação 45^\circ transforma \,\theta em \,\frac{\pi}{2}-\theta (ou, em graus, \,90^\circ-\theta).
  • Objetivo final: mostrar que os alcances R(\theta) e R\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) são iguais.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas: eixo x horizontal (para a frente) e eixo y vertical (para cima). Decomposição da velocidade inicial: a velocidade \,v tem componentes horizontal e vertical dadas por \,v\cos\theta e \,v\sin\theta, respectivamente. Explico por que: num triângulo retângulo formado pela velocidade, o cateto adjacente ao ângulo \theta vale \,v\cos\theta e o cateto oposto vale \,v\sin\theta. Essas componentes são as velocidades iniciais nas direções x e y.

Passo 3

Escrevemos as equações horária das posições (cinemática básica, integração de velocidade/ aceleração):
x(t)=v\cos\theta\;t
y(t)=v\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}
Justificativa rápida: a componente horizontal da aceleração é zero, logo a velocidade horizontal é constante igual a \,v\cos\theta, integrando dá \,x(t)=v\cos\theta\;t. A componente vertical da velocidade varia com o tempo como \,v\sin\theta - g t; integrando essa velocidade vertical obtemos \,y(t)=v\sin\theta\;t-\tfrac12 g t^2.

Passo 4

Encontrar o tempo total de voo T (desconsiderando o instante inicial t=0): devemos achar t>0 tal que y(t)=0. Então resolvemos
v\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}=0.
Fatorando t,
t\bigl(v\sin\theta-\tfrac{1}{2}g\,t\bigr)=0.
A solução não-trivial é
T=\frac{2v\sin\theta}{g}.
Explicação: a raiz t=0 corresponde ao lançamento; a outra raiz dá o tempo até o projétil voltar à mesma altura (assumimos lançamento e aterrissagem na mesma cota).

Passo 5

Agora calculamos o alcance horizontal R(\theta) como x(T). Usando x(t)=v\cos\theta\;t e substituindo t=T:
R(\theta)=v\cos\theta\cdot\frac{2v\sin\theta}{g}=\frac{2v^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}.
Usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta,
portanto podemos escrever
R(\theta)=\frac{v^{2}}{g}\sin(2\theta).
Explicação da identidade: \sin(2\theta) é definida pela fórmula de ângulo duplo e vale exatamente 2\sin\theta\cos\theta; essa é uma identidade básica de trigonometria que pode ser vista geométricamente ou derivada das fórmulas de soma de ângulos.

Passo 6

Compute o alcance para o ângulo simétrico \,\frac{\pi}{2}-\theta. Substituindo na fórmula:
R\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{v^{2}}{g}\sin\!\bigl(2\!\cdot\!(\tfrac{\pi}{2}-\theta)\bigr)=\frac{v^{2}}{g}\sin(\pi-2\theta).
Usamos agora a identidade trigonométrica
\sin(\pi-x)=\sin x,
que diz que o seno é simétrico em torno de \tfrac{\pi}{2}. Assim
\sin(\pi-2\theta)=\sin(2\theta),
logo
R\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{v^{2}}{g}\sin(2\theta)=R(\theta).

Passo 7

Interpretação física curta (para fixar a intuição): a fórmula final \,R(\theta)=\dfrac{v^{2}}{g}\sin(2\theta) mostra que o alcance depende de \sin(2\theta). Refletir o ângulo em relação à reta a 45^\circ troca \theta por \tfrac{\pi}{2}-\theta, que faz 2\theta virar \pi-2\theta; como \sin(\pi-2\theta)=\sin(2\theta), o produto vertical×horizontal efetivo que determina o alcance permanece o mesmo — por isso os alcances coincidem. Exemplo numérico rápido: para \theta=30^\circ e \theta'=60^\circ (são simétricos em relação a 45^\circ), \sin(2\cdot 30^\circ)=\sin(60^\circ)=\sin(120^\circ)=\sin(2\cdot 60^\circ), logo os alcances são iguais.

Resposta

R(\theta)=\frac{v^{2}}{g}\sin(2\theta)\quad\text{e}\quad R\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{v^{2}}{g}\sin(\pi-2\theta)=\frac{v^{2}}{g}\sin(2\theta),
portanto R(\theta)=R\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right).

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