Galileu mostrou que se for desprezada a resistência do ar, os alcances dos projéteis, disparados com ângulos simétricos em relação à reta que tem inclinação de
com a horizontal, são iguais. Prove esta afirmação.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, desprezando a resistência do ar, dois projéteis lançados com a mesma velocidade inicial e com ângulos que são simétricos em relação à reta que faz
com a horizontal têm o mesmo alcance.
Informações e hipóteses dadas (explicitadas):
Informações e hipóteses dadas (explicitadas):
- Aceleração da gravidade é constante e vertical para baixo, com magnitude
. - Os dois projéteis têm a mesma velocidade inicial, que vou chamar de
. - Um projétil é lançado com ângulo
em relação à horizontal; o outro é lançado com o ângulo simétrico em relação à reta a . A reflexão de um ângulo em relação à reta de inclinação transforma em (ou, em graus, ). - Objetivo final: mostrar que os alcances
e são iguais.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas: eixo
horizontal (para a frente) e eixo
vertical (para cima). Decomposição da velocidade inicial: a velocidade
tem componentes horizontal e vertical dadas por
e
, respectivamente. Explico por que: num triângulo retângulo formado pela velocidade, o cateto adjacente ao ângulo
vale
e o cateto oposto vale
. Essas componentes são as velocidades iniciais nas direções
e
.
Passo 3
Escrevemos as equações horária das posições (cinemática básica, integração de velocidade/ aceleração):
Justificativa rápida: a componente horizontal da aceleração é zero, logo a velocidade horizontal é constante igual a
, integrando dá
. A componente vertical da velocidade varia com o tempo como
; integrando essa velocidade vertical obtemos
.
Passo 4
Encontrar o tempo total de voo
(desconsiderando o instante inicial
): devemos achar
tal que
. Então resolvemos
Fatorando
,
A solução não-trivial é
Explicação: a raiz
corresponde ao lançamento; a outra raiz dá o tempo até o projétil voltar à mesma altura (assumimos lançamento e aterrissagem na mesma cota).
Passo 5
Agora calculamos o alcance horizontal
como
. Usando
e substituindo
:
Usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
portanto podemos escrever
Explicação da identidade:
é definida pela fórmula de ângulo duplo e vale exatamente
; essa é uma identidade básica de trigonometria que pode ser vista geométricamente ou derivada das fórmulas de soma de ângulos.
Passo 6
Compute o alcance para o ângulo simétrico
. Substituindo na fórmula:
Usamos agora a identidade trigonométrica
que diz que o seno é simétrico em torno de
. Assim
logo
Passo 7
Interpretação física curta (para fixar a intuição): a fórmula final
mostra que o alcance depende de
. Refletir o ângulo em relação à reta a
troca
por
, que faz
virar
; como
, o produto vertical×horizontal efetivo que determina o alcance permanece o mesmo — por isso os alcances coincidem. Exemplo numérico rápido: para
e
(são simétricos em relação a
),
, logo os alcances são iguais.
Resposta
portanto
.