Uma mangueira com um bico a 1,5 \mathrm{~m} acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de 30^{\circ} com o chão. O jato de água atinge um canteiro de 15 m de distância. a) Com que velocidade o jato sai da mangueira? b) Que altura ele atinge? (Resp. a) 12 m / s b ) 3,35 m )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados:
  • A boca da mangueira está a uma altura inicial y_0 = 1,5\\ \mathrm{m} acima do solo.
  • O jato é lançado formando um ângulo \theta = 30^\circ com o chão.
  • O jato atinge o canteiro a uma distância horizontal R = 15\\ \mathrm{m} (ou seja, a componente horizontal do deslocamento até o impacto vale 15\\ \mathrm{m}).
Perguntas:
a) Qual é a velocidade inicial v_0 do jato na saída da mangueira?
b) Qual é a altura máxima atingida pelo jato (altura acima do solo)?

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com x horizontal (para a frente) e y vertical (para cima). Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical:
  • A componente horizontal da velocidade inicial é \displaystyle v_{0x} = v_0\cos\theta.
  • A componente vertical da velocidade inicial é \displaystyle v_{0y} = v_0\sin\theta.
Explicação didática: isso vem da trigonometria do triângulo formado por v_0 e suas projeções. A função \cos pega a projeção no eixo adjacente (horizontal) e \sin no oposto (vertical).
Além disso, a aceleração vertical é a gravidade para baixo, que vamos tomar como \displaystyle g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Analisando o movimento horizontal (sem aceleração, movimento uniforme), a posição horizontal em função do tempo é
x(t)=v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\; t.
O jato percorre R=15\\ \mathrm{m} até o impacto, logo o tempo de voo até o impacto (chamarei de t_f) satisfaz
t_f=\frac{R}{v_0\cos\theta}.
Explicação didática: como não há aceleração horizontal, velocidade horizontal é constante; distância = velocidade \times tempo, daí isolamos o tempo.

Passo 4

Agora a equação do movimento vertical (com aceleração constante -g) é
y(t)=y_0 + v_{0y}\,t - \frac{1}{2} g t^2.
No instante do impacto com o solo temos y(t_f)=0. Substituindo v_{0y}=v_0\sin\theta e t_f=\dfrac{R}{v_0\cos\theta} obtemos
0 = y_0 + v_0\sin\theta\left(\frac{R}{v_0\cos\theta}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{R}{v_0\cos\theta}\right)^{\!2}.
Agora simplificamos termo a termo.
Primeiro simplificamos a fração com v_0:
v_0\sin\theta\left(\frac{R}{v_0\cos\theta}\right)=R\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=R\tan\theta.
Então a equação fica
0 = y_0 + R\tan\theta - \frac{gR^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.
Isolando o termo com v_0^2:
\frac{gR^2}{2v_0^2\cos^2\theta} = y_0 + R\tan\theta.
Invertendo e resolvendo para v_0^2 obtemos a fórmula fechada
v_0^2 = \frac{gR^2}{2\cos^2\theta\,(y_0 + R\tan\theta)}.
Explicação didática: esse resultado é uma manipulação algébrica direta. Note que y_0 aparece somado ao termo R\tan\theta porque parte da altura final depende tanto da altura inicial quanto da inclinação do lançamento.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente. Primeiro dados trigonométricos exatos para \theta=30^\circ:
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos^2 30^\circ=\frac{3}{4},
\sin 30^\circ=\frac{1}{2},\qquad \tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577350269.
Substituindo valores em \displaystyle v_0^2=\frac{gR^2}{2\cos^2\theta\,(y_0 + R\tan\theta)} com g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, R=15\\ \mathrm{m} e y_0=1,5\\ \mathrm{m}:
Calculemos passo a passo:
y_0 + R\tan\theta = 1,5 + 15\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 1,5 + 8,66025404 = 10,16025404.
2\cos^2\theta = 2\cdot\frac{3}{4}= \frac{3}{2}=1,5.
\text{denominador} = 2\cos^2\theta\,(y_0 + R\tan\theta) \approx 1,5\cdot 10,16025404 = 15,24038106.
\text{numerador} = gR^2 = 9,8\cdot 15^2 = 9,8\cdot 225 = 2205.
v_0^2 \approx \frac{2205}{15,24038106} \approx 144,66.
v_0 \approx \sqrt{144,66}\approx 12,03\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma prática para a precisão típica de problemas de física, v_0 \approx 12\\ \mathrm{m/s}. Isso responde a letra (a).
Explicação didática final sobre (a): a velocidade inicial saiu da fórmula que combina o alcance horizontal com a altura inicial — é importante lembrar que, quando o lançamento não parte do solo, a expressão do alcance muda e precisa incluir y_0, como fizemos.

Passo 6

Agora vamos achar a altura máxima. A altura máxima h_{\max} ocorre quando a velocidade vertical chega a zero. Usamos a fórmula (física elemental de movimento uniformemente variado) que dá a diferença de alturas a partir da componente vertical:
h_{\max} = y_0 + \frac{v_{0y}^2}{2g}.
Explicação didática: essa fórmula vem de \displaystyle v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g(h - y_0). No ponto mais alto v_y=0, então h - y_0 = v_{0y}^2/(2g).
Calculamos v_{0y}=v_0\sin\theta. Com v_0\approx 12,03\\ \mathrm{m/s} e \sin 30^\circ = 1/2,
v_{0y}\approx 12,03\cdot\frac{1}{2}=6,015\\ \mathrm{m/s}.
\frac{v_{0y}^2}{2g} \approx \frac{(6,015)^2}{2\cdot 9,8} = \frac{36,18}{19,6}\approx 1,846.
Então
h_{\max} \approx 1,5 + 1,846 = 3,346\\ \mathrm{m}\approx 3,35\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) 12\\ \mathrm{m/s}
b) 3,35\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados