Uma mangueira com um bico a
acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de
com o chão. O jato de água atinge um canteiro de
de distância. a) Com que velocidade o jato sai da mangueira? b) Que altura ele atinge? (Resp. a)
)
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados:
- A boca da mangueira está a uma altura inicial
acima do solo. - O jato é lançado formando um ângulo
com o chão. - O jato atinge o canteiro a uma distância horizontal
(ou seja, a componente horizontal do deslocamento até o impacto vale ).
Perguntas:
a) Qual é a velocidade inicial do jato na saída da mangueira?
b) Qual é a altura máxima atingida pelo jato (altura acima do solo)?
a) Qual é a velocidade inicial
b) Qual é a altura máxima atingida pelo jato (altura acima do solo)?
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas com
horizontal (para a frente) e
vertical (para cima). Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical:
- A componente horizontal da velocidade inicial é
. - A componente vertical da velocidade inicial é
.
Explicação didática: isso vem da trigonometria do triângulo formado por
e suas projeções. A função
pega a projeção no eixo adjacente (horizontal) e
no oposto (vertical).
Além disso, a aceleração vertical é a gravidade para baixo, que vamos tomar como
.
Passo 3
Analisando o movimento horizontal (sem aceleração, movimento uniforme), a posição horizontal em função do tempo é
O jato percorre
até o impacto, logo o tempo de voo até o impacto (chamarei de
) satisfaz
Explicação didática: como não há aceleração horizontal, velocidade horizontal é constante; distância = velocidade
tempo, daí isolamos o tempo.
Passo 4
Agora a equação do movimento vertical (com aceleração constante
) é
No instante do impacto com o solo temos
. Substituindo
e
obtemos
Agora simplificamos termo a termo.
Primeiro simplificamos a fração com
:
Então a equação fica
Isolando o termo com
:
Invertendo e resolvendo para
obtemos a fórmula fechada
Explicação didática: esse resultado é uma manipulação algébrica direta. Note que
aparece somado ao termo
porque parte da altura final depende tanto da altura inicial quanto da inclinação do lançamento.
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente. Primeiro dados trigonométricos exatos para
:
Substituindo valores em
com
,
e
:
Calculemos passo a passo:
Arredondando de forma prática para a precisão típica de problemas de física,
. Isso responde a letra (a).
Explicação didática final sobre (a): a velocidade inicial saiu da fórmula que combina o alcance horizontal com a altura inicial — é importante lembrar que, quando o lançamento não parte do solo, a expressão do alcance muda e precisa incluir
, como fizemos.
Passo 6
Agora vamos achar a altura máxima. A altura máxima
ocorre quando a velocidade vertical chega a zero. Usamos a fórmula (física elemental de movimento uniformemente variado) que dá a diferença de alturas a partir da componente vertical:
Explicação didática: essa fórmula vem de
. No ponto mais alto
, então
.
Calculamos
. Com
e
,
Então
Resposta
a)
b)
b)