Uma partícula se desloca no plano x y com aceleração constante. Em t=0 a partícula está em \mathbf{r}=4 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}, com \mathbf{r} dado em metros e t em segundos. Em t=2 s a partícula está em \mathbf{r}=10 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}, e a sua velocidade é \boldsymbol{v}=5 \mathbf{i}-6 \mathbf{j}. a) Qual é a aceleração da partícula? b) Qual a velocidade da partícula em função do tempo? c) Qual a posição da partícula em função do tempo?
( Resp. a ) \boldsymbol{a}=2 \mathbf{i}-3,5 m \mathbf{j} b) \boldsymbol{v}=(1+2 t) \mathbf{i}+(1-3,5 t) \mathbf{j}
c) \left.\mathbf{r}=\left(4+t+t^{2}\right) \mathbf{i}+\left(3+t-1,75 t^{2}\right) \mathbf{j}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as três coisas listadas abaixo.
Dados:
\mathbf{r}(0)=4\mathbf{i}+3\mathbf{j}\quad(\text{metros})
\mathbf{r}(2)=10\mathbf{i}-2\mathbf{j}\quad(\text{metros})
\mathbf{v}(2)=5\mathbf{i}-6\mathbf{j}\quad(\text{m/s})
Tempo está em segundos: t em s.
Perguntas:
a) Qual é a aceleração \mathbf{a} da partícula?
b) Qual a velocidade \mathbf{v}(t) da partícula em função do tempo?
c) Qual a posição \mathbf{r}(t) da partícula em função do tempo?

Passo 2

Vamos usar as equações do movimento com aceleração constante. São elas (vetorialmente):
\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}_0+\mathbf{a}\,t
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0\,t+\tfrac{1}{2}\mathbf{a}\,t^2
Explicando cada termo:
  • \mathbf{r}(t) é o vetor posição no tempo t (em m).
  • \mathbf{r}_0=\mathbf{r}(0) é a posição inicial (em m).
  • \mathbf{v}(t) é o vetor velocidade no tempo t (em m/s).
  • \mathbf{v}_0=\mathbf{v}(0) é a velocidade inicial (em m/s).
  • \mathbf{a} é a aceleração constante (em m/s ^2).
    Como as equações são vetoriais, podemos resolver componente a componente (coordenadas x e y).

Passo 3

Use a equação da velocidade em t=2 para relacionar \mathbf{v}_0 e \mathbf{a}:
\mathbf{v}(2)=\mathbf{v}_0+\mathbf{a}\cdot 2.
Isolando \mathbf{v}_0:
\mathbf{v}_0=\mathbf{v}(2)-2\mathbf{a}.
Isso nos dá \mathbf{v}_0 em função de \mathbf{a}. Vamos usar essa expressão na equação para \mathbf{r}(2).

Passo 4

A equação da posição em t=2 é
\mathbf{r}(2)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0\cdot 2+\tfrac{1}{2}\mathbf{a}\cdot 2^2.
Como 2^2=4 e \tfrac{1}{2}\cdot 4=2, isso vira
\mathbf{r}(2)=\mathbf{r}_0+2\mathbf{v}_0+2\mathbf{a}.
Substituindo \mathbf{v}_0=\mathbf{v}(2)-2\mathbf{a} da etapa anterior:
\mathbf{r}(2)=\mathbf{r}_0+2\big(\mathbf{v}(2)-2\mathbf{a}\big)+2\mathbf{a}.
Desenvolvendo:
\mathbf{r}(2)=\mathbf{r}_0+2\mathbf{v}(2)-4\mathbf{a}+2\mathbf{a}=\mathbf{r}_0+2\mathbf{v}(2)-2\mathbf{a}.
Isolando \mathbf{a}:
2\mathbf{a}=\mathbf{r}_0+2\mathbf{v}(2)-\mathbf{r}(2)
\mathbf{a}=\tfrac{1}{2}\big(\mathbf{r}_0+2\mathbf{v}(2)-\mathbf{r}(2)\big).
Agora vamos calcular componente a componente com os valores numéricos.

Passo 5

Calcule \mathbf{r}_0+2\mathbf{v}(2):
\mathbf{r}_0+2\mathbf{v}(2) = \big(4\mathbf{i}+3\mathbf{j}\big)+2\big(5\mathbf{i}-6\mathbf{j}\big).
Multiplicando:
2\big(5\mathbf{i}-6\mathbf{j}\big)=10\mathbf{i}-12\mathbf{j}.
Somando:
\mathbf{r}_0+2\mathbf{v}(2)=(4+10)\mathbf{i}+(3-12)\mathbf{j}=14\mathbf{i}-9\mathbf{j}.
Agora subtraia \mathbf{r}(2)=10\mathbf{i}-2\mathbf{j}:
\mathbf{r}_0+2\mathbf{v}(2)-\mathbf{r}(2)=(14-10)\mathbf{i}+(-9-(-2))\mathbf{j}=4\mathbf{i}-7\mathbf{j}.
Divida por 2 para obter \mathbf{a}:
\mathbf{a}=\tfrac{1}{2}\big(4\mathbf{i}-7\mathbf{j}\big)=2\mathbf{i}-3{,}5\mathbf{j}\quad(\text{m/s}^2).

Passo 6

Com \mathbf{a} encontrado, calcule \mathbf{v}_0 usando \mathbf{v}_0=\mathbf{v}(2)-2\mathbf{a}:
2\mathbf{a}=2\big(2\mathbf{i}-3{,}5\mathbf{j}\big)=4\mathbf{i}-7\mathbf{j}.
\mathbf{v}_0=\big(5\mathbf{i}-6\mathbf{j}\big)-\big(4\mathbf{i}-7\mathbf{j}\big)=(5-4)\mathbf{i}+(-6+7)\mathbf{j}=1\mathbf{i}+1\mathbf{j}.
Logo \mathbf{v}_0=\mathbf{i}+\mathbf{j} (m/s).

Passo 7

Agora escrevemos a velocidade em função do tempo:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}_0+\mathbf{a}\,t = \big(1\mathbf{i}+1\mathbf{j}\big)+\big(2\mathbf{i}-3{,}5\mathbf{j}\big)t.
Separando componentes:
\mathbf{v}(t)=\big(1+2t\big)\mathbf{i}+\big(1-3{,}5t\big)\mathbf{j}\quad(\text{m/s}).

Passo 8

Agora a posição em função do tempo:
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0\,t+\tfrac{1}{2}\mathbf{a}\,t^2.
Substituindo \mathbf{r}_0=4\mathbf{i}+3\mathbf{j}, \mathbf{v}_0=\mathbf{i}+\mathbf{j}, \mathbf{a}=2\mathbf{i}-3{,}5\mathbf{j}:
\mathbf{r}(t)=\big(4\mathbf{i}+3\mathbf{j}\big)+\big(1\mathbf{i}+1\mathbf{j}\big)t+\tfrac{1}{2}\big(2\mathbf{i}-3{,}5\mathbf{j}\big)t^2.
Calcule \tfrac{1}{2}\mathbf{a}:
\tfrac{1}{2}\big(2\mathbf{i}-3{,}5\mathbf{j}\big)=1\mathbf{i}-1{,}75\mathbf{j}.
Portanto, componente a componente:
x(t)=4+1\cdot t+1\cdot t^2=4+t+t^2,
y(t)=3+1\cdot t-1{,}75\cdot t^2=3+t-1{,}75t^2.
Logo
\mathbf{r}(t)=\big(4+t+t^2\big)\mathbf{i}+\big(3+t-1{,}75t^2\big)\mathbf{j}\quad(\text{m}).

Passo 9

Checagem rápida (para nos deixar mais confiantes):
Para t=2,
\mathbf{v}(2)=\big(1+2\cdot 2\big)\mathbf{i}+\big(1-3{,}5\cdot 2\big)\mathbf{j}=(5)\mathbf{i}+(-6)\mathbf{j},
que coincide com o dado.
Para t=2,
\mathbf{r}(2)=\big(4+2+4\big)\mathbf{i}+\big(3+2-7\big)\mathbf{j}=10\mathbf{i}-2\mathbf{j},
também coincide. Bom sinal — está consistente.

Resposta

a) \mathbf{a}=2\mathbf{i}-3{,}5\mathbf{j}
b) \mathbf{v}(t)=\big(1+2t\big)\mathbf{i}+\big(1-3{,}5t\big)\mathbf{j}
c) \mathbf{r}(t)=\big(4+t+t^2\big)\mathbf{i}+\big(3+t-1{,}75t^2\big)\mathbf{j}

Exercícios relacionados