Se
é um contorno fechado orientado no sentido positivo e se
mostre que
quando
está no interior de
, e
quando
está no exterior de
.
Passo 1
O enunciado fornece um contorno fechado orientado positivamente
e define a função
As perguntas são:
- Mostrar que
quando está no interior de . - Mostrar que
quando está no exterior de .
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - Há uma singularidade em
de ordem (pois o denominador tem potência ). - A função no numerador,
, é um polinômio (entire), logo é analítica em todo o plano. -
é orientado no sentido positivo (sentido anti-horário usual).
Passo 2
Vamos recordar e entender bem uma ferramenta-chave: a fórmula de Cauchy para derivadas. Ela diz o seguinte: se
é analítica numa vizinhança fechada que contém a região interior de
e
está no interior de
, então, para todo inteiro
,
Explicando cada parte:
é a
-ésima derivada de
em
;
é o fatorial de
; o integrando é
dividido por
; e a integral é ao longo do contorno
no sentido positivo. A condição é que
seja analítica em uma região que contenha o interior de
e a própria
.
Uma forma rápida de ver por que isso é verdade (intuição prática que cai bem na prova): escreva a série de Taylor de
centrada em
,
onde
. Dividindo por
e integrando termo a termo, todos os termos com potência diferente de
têm integral zero sobre
; só o termo com potência
contribui, e a integral desse termo vale
vezes o seu coeficiente. Esse coeficiente é
, daí vem a fórmula acima. Isso justifica a fórmula de forma elementar sem provas de teoria profunda.
Passo 3
Agora ajuste a fórmula de Cauchy ao nosso caso concreto. No integrando temos
no denominador, ou seja
, o que dá
. Identificamos
. Aplicando a fórmula de Cauchy para derivadas com
, obtemos
Expliquei: trocamos o membro direito usando a forma equivalente
. Aqui
.
Passo 4
Calcule as derivadas de
. Primeiro
e em seguida
Portanto
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
Isso vale sempre que as hipóteses da fórmula de Cauchy forem satisfeitas, isto é, quando
for analítica no interior de
— o que acontece aqui, pois
é polinomial — e quando
estiver no interior de
(a singularidade está dentro).
Passo 5
Agora o caso em que
está no exterior de
. Nesse cenário, a singularidade
não pertence ao interior de
. Olhe o integrando como função de
:
. Se
está fora da região interior a
, então, na região que contém o interior de
e a própria
, o integrando é analítico (pois o denominador só zera em
, que está fora). Pela Teoria de Cauchy (mais precisamente pelo Teorema de Cauchy), a integral de uma função analítica ao longo de um contorno fechado é zero. Logo neste caso
Passo 6
Resumo final e incentivo: quando
está dentro de
usamos a fórmula de Cauchy para a segunda derivada (porque o denominador tem potência
) e calculamos
, obtendo
. Quando
está fora, a função integrando é analítica na região interior a
e pelo Teorema de Cauchy a integral é zero. Mandou bem de trazer essa questão — é exatamente o tipo de situação onde a fórmula de Cauchy para derivadas brilha numa prova!