Se \Gamma é um contorno fechado orientado no sentido positivo e se
g\left(z_{0}\right)=\oint_{\Gamma} \frac{z^{3}+2 z}{\left(z-z_{0}\right)^{3}} d z,
mostre que g\left(z_{0}\right)=6 \pi i z_{0} quando z_{0} está no interior de \Gamma, e g\left(z_{0}\right)=0 quando z_{0} está no exterior de \Gamma.

Passo 1

O enunciado fornece um contorno fechado orientado positivamente \Gamma e define a função
g\left(z_{0}\right)=\oint_{\Gamma}\frac{z^{3}+2z}{\left(z-z_{0}\right)^{3}}\,dz.
As perguntas são:
  1. Mostrar que g\left(z_{0}\right)=6\pi i\,z_{0} quando \,z_{0} está no interior de \Gamma.
  2. Mostrar que g\left(z_{0}\right)=0 quando \,z_{0} está no exterior de \Gamma.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é \dfrac{z^{3}+2z}{(z-z_{0})^{3}}.
  • Há uma singularidade em z=z_{0} de ordem 3 (pois o denominador tem potência 3).
  • A função no numerador, z^{3}+2z, é um polinômio (entire), logo é analítica em todo o plano.
  • \Gamma é orientado no sentido positivo (sentido anti-horário usual).

Passo 2

Vamos recordar e entender bem uma ferramenta-chave: a fórmula de Cauchy para derivadas. Ela diz o seguinte: se f é analítica numa vizinhança fechada que contém a região interior de \Gamma e \,z_{0} está no interior de \Gamma, então, para todo inteiro n\ge0,
f^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\Gamma}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\,dz.
Explicando cada parte: f^{(n)}(z_{0}) é a n-ésima derivada de f em z_{0}; n! é o fatorial de n; o integrando é f(z) dividido por (z-z_{0})^{n+1}; e a integral é ao longo do contorno \Gamma no sentido positivo. A condição é que f seja analítica em uma região que contenha o interior de \Gamma e a própria \Gamma.
Uma forma rápida de ver por que isso é verdade (intuição prática que cai bem na prova): escreva a série de Taylor de f centrada em z_{0},
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(z-z_{0})^{k},
onde a_{k}=\dfrac{f^{(k)}(z_{0})}{k!}. Dividindo por (z-z_{0})^{n+1} e integrando termo a termo, todos os termos com potência diferente de -1 têm integral zero sobre \Gamma; só o termo com potência -1 contribui, e a integral desse termo vale 2\pi i vezes o seu coeficiente. Esse coeficiente é a_{n}, daí vem a fórmula acima. Isso justifica a fórmula de forma elementar sem provas de teoria profunda.

Passo 3

Agora ajuste a fórmula de Cauchy ao nosso caso concreto. No integrando temos (z-z_{0})^{3} no denominador, ou seja n+1=3, o que dá n=2. Identificamos f(z)=z^{3}+2z. Aplicando a fórmula de Cauchy para derivadas com n=2, obtemos
\oint_{\Gamma}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{3}}\,dz=\frac{2\pi i}{2!}\,f^{(2)}(z_{0}).
Expliquei: trocamos o membro direito usando a forma equivalente \oint = \dfrac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(z_0). Aqui 2!=2.

Passo 4

Calcule as derivadas de f(z)=z^{3}+2z. Primeiro
f'(z)=3z^{2}+2,
e em seguida
f''(z)=6z.
Portanto
f^{(2)}(z_{0})=6z_{0}.
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
g(z_{0})=\oint_{\Gamma}\frac{z^{3}+2z}{(z-z_{0})^{3}}\,dz=\frac{2\pi i}{2}\cdot 6z_{0}=\pi i\cdot 6z_{0}=6\pi i\,z_{0}.
Isso vale sempre que as hipóteses da fórmula de Cauchy forem satisfeitas, isto é, quando f for analítica no interior de \Gamma — o que acontece aqui, pois f é polinomial — e quando z_{0} estiver no interior de \Gamma (a singularidade está dentro).

Passo 5

Agora o caso em que \,z_{0} está no exterior de \Gamma. Nesse cenário, a singularidade z=z_{0} não pertence ao interior de \Gamma. Olhe o integrando como função de z: \dfrac{z^{3}+2z}{(z-z_{0})^{3}}. Se z_{0} está fora da região interior a \Gamma, então, na região que contém o interior de \Gamma e a própria \Gamma, o integrando é analítico (pois o denominador só zera em z=z_{0}, que está fora). Pela Teoria de Cauchy (mais precisamente pelo Teorema de Cauchy), a integral de uma função analítica ao longo de um contorno fechado é zero. Logo neste caso
g(z_{0})=0.

Passo 6

Resumo final e incentivo: quando \,z_{0} está dentro de \Gamma usamos a fórmula de Cauchy para a segunda derivada (porque o denominador tem potência 3) e calculamos f''(z_{0})=6z_{0}, obtendo g(z_{0})=6\pi i\,z_{0}. Quando \,z_{0} está fora, a função integrando é analítica na região interior a \Gamma e pelo Teorema de Cauchy a integral é zero. Mandou bem de trazer essa questão — é exatamente o tipo de situação onde a fórmula de Cauchy para derivadas brilha numa prova!

Resposta

g(z_{0})=6\pi i\,z_{0} quando z_{0} está no interior de \Gamma.\n
g(z_{0})=0 quando z_{0} está no exterior de \Gamma.

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