Se
é o círculo
descrito no sentido positivo e se
mostre que
. Qual é o valor de
quando
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
-
é o círculo descrito no sentido positivo. - A função
é definida por
- O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que
. - Determinar o valor de
quando .
- Mostrar que
Todas as informações relevantes estão acima: a curva
, a fórmula de
e a condição
. Agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Observação sobre a função que aparece no numerador: defina
Isto é um polinômio em
, portanto
é holomorfa (analítica) em todo o plano complexo — não tem singularidades. Isso é importante porque, dentro do círculo
,
é perfeitamente bem comportada.
Passo 3
Enunciado e explicação da ferramenta que vamos usar (Cauchy / cálculo de resíduos para pólos simples):
Se
é holomorfa numa vizinhança aberta que contém o interior de uma curva simples fechada
e se
está no interior de
, então vale a fórmula de Cauchy
O motivo prático:
tem um pólo simples em
com resíduo igual a
; pela fórmula dos resíduos a integral é
vezes esse resíduo. Aqui explicitei o que cada símbolo significa:
-
: curva fechada orientada positivamente; -
: função holomorfa no interior de ; -
: ponto interior a ; - o lado direito
é o resultado da integral.
Também é útil lembrar o caso oposto: se a função integranda for holomorfa em todo o interior e na própria curva
(ou seja, não há pólos dentro), então a integral é zero (teorema de Cauchy).
Passo 4
Aplicação direta ao nosso problema quando
está dentro do círculo
:
Aqui
é holomorfa em todo o disco interior, logo, se
, pela fórmula de Cauchy temos
Passo 5
Calcule
usando a expressão do passo anterior: como
, temos
Portanto
o que era para mostrar.
Passo 6
Agora o caso
: se
está fora do círculo
, então para todos os
no interior do disco
temos
, logo a função
é holomorfa em toda a região interior a
e na própria
. Pelo teorema de Cauchy (integral de uma função holomorfa sobre curva fechada) a integral é zero. Assim, para
vale