Se \Gamma é o círculo |z|=3 descrito no sentido positivo e se
g\left(z_{0}\right)=\oint_{\Gamma} \frac{2 z^{2}-z-2}{z-z_{0}} d z \quad\left(\left|z_{0}\right| \neq 3\right)
mostre que g(2)=8 \pi i. Qual é o valor de g\left(z_{0}\right) quando \left|z_{0}\right|>3 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • \Gamma é o círculo \lvert z\rvert=3 descrito no sentido positivo.
  • A função g é definida por
g\left(z_{0}\right)=\oint_{\Gamma}\frac{2z^{2}-z-2}{z-z_{0}}\,dz\qquad\left(\lvert z_{0}\rvert\neq 3\right).
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Mostrar que g(2)=8\pi i.
    2. Determinar o valor de g\left(z_{0}\right) quando \lvert z_{0}\rvert>3.
Todas as informações relevantes estão acima: a curva \Gamma, a fórmula de g(z_{0}) e a condição \lvert z_{0}\rvert\neq3. Agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Observação sobre a função que aparece no numerador: defina
f(z)=2z^{2}-z-2.
Isto é um polinômio em z, portanto f é holomorfa (analítica) em todo o plano complexo — não tem singularidades. Isso é importante porque, dentro do círculo \lvert z\rvert\le 3, f é perfeitamente bem comportada.

Passo 3

Enunciado e explicação da ferramenta que vamos usar (Cauchy / cálculo de resíduos para pólos simples):
Se f é holomorfa numa vizinhança aberta que contém o interior de uma curva simples fechada \Gamma e se z_{0} está no interior de \Gamma, então vale a fórmula de Cauchy
\oint_{\Gamma}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\,dz = 2\pi i\, f(z_{0}).
O motivo prático: \dfrac{f(z)}{z-z_{0}} tem um pólo simples em z=z_{0} com resíduo igual a f(z_{0}); pela fórmula dos resíduos a integral é 2\pi i vezes esse resíduo. Aqui explicitei o que cada símbolo significa:
  • \Gamma: curva fechada orientada positivamente;
  • f(z): função holomorfa no interior de \Gamma;
  • z_{0}: ponto interior a \Gamma;
  • o lado direito 2\pi i f(z_{0}) é o resultado da integral.
Também é útil lembrar o caso oposto: se a função integranda for holomorfa em todo o interior e na própria curva \Gamma (ou seja, não há pólos dentro), então a integral é zero (teorema de Cauchy).

Passo 4

Aplicação direta ao nosso problema quando z_{0} está dentro do círculo \lvert z\rvert=3:
Aqui f(z)=2z^{2}-z-2 é holomorfa em todo o disco interior, logo, se \lvert z_{0}\rvert<3, pela fórmula de Cauchy temos
g(z_{0})=\oint_{\Gamma}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\,dz = 2\pi i\, f(z_{0}) = 2\pi i\bigl(2z_{0}^{2}-z_{0}-2\bigr).

Passo 5

Calcule g(2) usando a expressão do passo anterior: como \lvert 2\rvert=2<3, temos
f(2)=2\cdot 2^{2}-2-2 = 2\cdot 4 -2 -2 = 8-4 =4.
Portanto
g(2)=2\pi i\cdot 4 = 8\pi i,
o que era para mostrar.

Passo 6

Agora o caso \lvert z_{0}\rvert>3: se z_{0} está fora do círculo \Gamma, então para todos os z no interior do disco \lvert z\rvert\le 3 temos z\neq z_{0}, logo a função \dfrac{f(z)}{z-z_{0}} é holomorfa em toda a região interior a \Gamma e na própria \Gamma. Pelo teorema de Cauchy (integral de uma função holomorfa sobre curva fechada) a integral é zero. Assim, para \lvert z_{0}\rvert>3 vale
g(z_{0})=0.

Resposta

g(2)=8\pi i\n g(z_{0})=0 para \lvert z_{0}\rvert>3

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