Determine a distância entre os pontos e as retas:
A=(7,12,3), r:{\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=z}
Passo 1
O enunciado pede a distância entre o ponto A=(7,12,3) e a reta r dada por
\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=z.
Informações relevantes que temos:
As coordenadas do ponto são A=(7,12,3).
A reta r está em forma simétrica; dela podemos extrair um ponto qualquer sobre a reta e o vetor diretor da reta.
A partir disso vamos calcular a distância entre o ponto e a reta.
Passo 2
Primeiro vamos passar a equação simétrica da reta para forma paramétrica para identificar um ponto da reta e o vetor diretor. Se chamarmos o parâmetro comum de t, então
\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=z=t.
Dessa forma obtemos as equações paramétricas:
x=1+2t,\qquad y=-3+5t,\qquad z=t.
Tomando t=0 obtemos um ponto na reta:
P_0=(1,-3,0).
O vetor diretor da reta é
\vec{v}=(2,5,1).
Passo 3
Vou explicar o método que usaremos (passo didático): a distância entre um ponto A e uma reta que passa por P_0 com vetor diretor \vec{v} pode ser obtida por
\overrightarrow{AP_0}\times\vec{v} é o vetor cujo módulo é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AP_0} e \vec{v}.
A área do paralelogramo também é base vezes altura, isto é, \|\vec{v}\|\cdot h, onde h é a distância perpendicular (o que queremos).
Logo h=\dfrac{\text{área}}{\|\vec{v}\|}=\dfrac{\|\overrightarrow{AP_0}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}á.
Aqui \|\cdot\| indica o comprimento (norma) de um vetor e \times é o produto vetorial (cross product).
(Na prática dá igual usar \overrightarrow{P_0A}=A-P_0; o módulo do produto vetorial será o mesmo, mas aqui usei P_0-A para consistência com a fórmula explicada.)
Passo 5
Agora calculamos o produto vetorial \overrightarrow{AP_0}\times\vec{v}. Usando a regra do determinante:
Como checagem alternativa (mais direta): se existe t tal que x=1+2t=7, y=-3+5t=12 e z=t=3, então o ponto A pertence à reta. Tomando t=3 obtemos x=1+2\cdot 3=7 e y=-3+5\cdot 3=12, que coincide com as coordenadas de A. Logo A está sobre a reta r e a distância é realmente zero.