Determine a distância entre os pontos e as retas:
A=(7,12,3), r:{\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=z}

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto A=(7,12,3) e a reta r dada por
\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=z.
Informações relevantes que temos:
  • As coordenadas do ponto são A=(7,12,3).
  • A reta r está em forma simétrica; dela podemos extrair um ponto qualquer sobre a reta e o vetor diretor da reta.
    A partir disso vamos calcular a distância entre o ponto e a reta.

Passo 2

Primeiro vamos passar a equação simétrica da reta para forma paramétrica para identificar um ponto da reta e o vetor diretor. Se chamarmos o parâmetro comum de t, então
\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=z=t.
Dessa forma obtemos as equações paramétricas:
x=1+2t,\qquad y=-3+5t,\qquad z=t.
Tomando t=0 obtemos um ponto na reta:
P_0=(1,-3,0).
O vetor diretor da reta é
\vec{v}=(2,5,1).

Passo 3

Vou explicar o método que usaremos (passo didático): a distância entre um ponto A e uma reta que passa por P_0 com vetor diretor \vec{v} pode ser obtida por
d=\frac{\|\overrightarrow{AP_0}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}.
Por quê? Uma explicação intuitiva e geométrica:
  • \overrightarrow{AP_0}\times\vec{v} é o vetor cujo módulo é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AP_0} e \vec{v}.
  • A área do paralelogramo também é base vezes altura, isto é, \|\vec{v}\|\cdot h, onde h é a distância perpendicular (o que queremos).
  • Logo h=\dfrac{\text{área}}{\|\vec{v}\|}=\dfrac{\|\overrightarrow{AP_0}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}á.
    Aqui \|\cdot\| indica o comprimento (norma) de um vetor e \times é o produto vetorial (cross product).

Passo 4

Calculamos o vetor \overrightarrow{AP_0}:
\overrightarrow{AP_0}=P_0-A=(1-7,\,-3-12,\,0-3)=(-6,\,-15,\,-3).
(Na prática dá igual usar \overrightarrow{P_0A}=A-P_0; o módulo do produto vetorial será o mesmo, mas aqui usei P_0-A para consistência com a fórmula explicada.)

Passo 5

Agora calculamos o produto vetorial \overrightarrow{AP_0}\times\vec{v}. Usando a regra do determinante:
\overrightarrow{AP_0}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -6 & -15 & -3 \\\\ 2 & 5 & 1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
\begin{aligned} \text{componente } \mathbf{i} &= (-15)\cdot 1 - (-3)\cdot 5 = -15 -(-15)=0,\\\ \text{componente } \mathbf{j} &= -\big((-6)\cdot 1 - (-3)\cdot 2\big) = -\big(-6 -(-6)\big)=0,\\\ \text{componente } \mathbf{k} &= (-6)\cdot 5 - (-15)\cdot 2 = -30 -(-30)=0. \end{aligned}
Portanto
\overrightarrow{AP_0}\times\vec{v}=(0,0,0).

Passo 6

O módulo do produto vetorial é \|\overrightarrow{AP_0}\times\vec{v}\|=0. Calculamos também a norma de \vec{v} só para completar:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+5^2+1^2}=\sqrt{4+25+1}=\sqrt{30}.
Aplicando a fórmula da distância:
d=\frac{0}{\sqrt{30}}=0.

Passo 7

Como checagem alternativa (mais direta): se existe t tal que x=1+2t=7, y=-3+5t=12 e z=t=3, então o ponto A pertence à reta. Tomando t=3 obtemos x=1+2\cdot 3=7 e y=-3+5\cdot 3=12, que coincide com as coordenadas de A. Logo A está sobre a reta r e a distância é realmente zero.

Resposta

0

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