Um garagista vende um carro semi-novo por \mathrm{R} \ 11.261,62 , podendo este valor ser pago até o prazo máximo de seis meses. Quem optar pelo pagamento a vista, beneficia-se de um desconto deéá11,2 %$. Qual é a taxa de juros compostos cobrada nesta operação? R.: 2% a.m.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Preço cobrado do carro para quem paga em até seis meses: \mathrm{R}\$\,11.261,62.
  • Quem paga à vista recebe desconto de 11{,}2\%.
  • Prazo máximo para pagamento: 6 meses.
  • Pergunta: qual é a taxa de juros compostos cobrada nessa operação (em \% ao mês)?
Essas são todas as informações que vamos usar.

Passo 2

Entender o desconto: se o preço à prazo (valor final para quem parcelar) é \mathrm{R}\$\,11.261,62 e o desconto à vista é de 11{,}2\%, o preço à vista (valor presente) é o preço a prazo menos 11{,}2\% desse preço. Em fórmula:
\text{PV} = \text{FV}\times(1-0{,}112).
Substituindo \text{FV}=\mathrm{R}\$\,11.261,62:
\text{PV}=11.261,62\times 0{,}888.
Agora calculamos esse produto manualmente (mostrando passo a passo):
11.261,62\times 0{,}888 = 11.261,62\left(\frac{888}{1000}\right)=\frac{11.261,62\times 888}{1000}.
Fazendo a multiplicação:
11.261,62\times 888 = 10.000.318{,}56,
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\text{PV}=10.000{,}31856\\ (\text{reais}).
(Arredondando sensatamente para centavos, \text{PV}\approx\mathrm{R}\$\,10.000,32.)

Passo 3

Relembrando a fórmula dos juros compostos: se um valor presente \text{PV} é capitalizado por n períodos a uma taxa mensal i (em decimal), o valor futuro \text{FV} é
\text{FV}=\text{PV}\,(1+i)^n.
Explicando as variáveis:
  • \text{PV} é o valor à vista (o que o comprador pagaria hoje).
  • \text{FV} é o valor pago no fim do prazo (aqui o preço a prazo, \mathrm{R}\$\,11.261,62).
  • i é a taxa de juros por período (aqui por mês), em decimal.
  • n é o número de períodos (aqui 6 meses).
Nós queremos encontrar i tal que, aplicado por 6 meses a \text{PV}, resulte em \text{FV}.

Passo 4

Montando a equação com os números que já temos:
11.261,62 = 10.000{,}31856\,(1+i)^6.
Isolando (1+i)^6:
(1+i)^6=\frac{11.261,62}{10.000{,}31856}.
Mas, lembrando que \text{PV}=11.261,62\times(1-0{,}112), isso simplifica algebraicamente para
(1+i)^6=\frac{1}{1-0{,}112}=\frac{1}{0{,}888}=\frac{125}{111}\approx 1{,}126126126\ldots

Passo 5

Agora extraímos a raiz sexta para obter 1+i:
1+i=\left(\frac{125}{111}\right)^{1/6}.
E então
i=\left(\frac{125}{111}\right)^{1/6}-1.

Passo 6

Cálculo numérico de i. Usamos logaritmo (ou cálculo passo a passo) para encontrar a raiz sexta. Tomando logaritmo natural:
\ln(1+i)=\frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{125}{111}\right).
Calculando numericamente (mostrando aproximações):
\ln\!\left(\frac{125}{111}\right)\approx 0{,}11878\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{125}{111}\right)\approx 0{,}01980.
Então
1+i\approx e^{0{,}01980}\approx 1{,}020\quad\Rightarrow\quad i\approx 0{,}02.
Em porcentagem,
i\approx 0{,}02\;=\;2\%.

Passo 7

Verificação prática rápida: se i=2\% ao mês, então
(1{,}02)^6\approx 1{,}12616\ldots
e
10.000{,}31856\times(1{,}02)^6\approx 11.261{,}62,
ou seja, volta ao valor a prazo dado no enunciado (diferenças ínfimas ocorrem por arredondamento), confirmando que a taxa mensal cobrada é 2\% ao mês.

Resposta

2\%\\ \text{a.m.}

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