Um garagista vende um carro semi-novo por
11.261,62
11,2 %$. Qual é a taxa de juros compostos cobrada nesta operação? R.: 2% a.m.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Preço cobrado do carro para quem paga em até seis meses:
. - Quem paga à vista recebe desconto de
. - Prazo máximo para pagamento:
meses. - Pergunta: qual é a taxa de juros compostos cobrada nessa operação (em
ao mês)?
Essas são todas as informações que vamos usar.
Passo 2
Entender o desconto: se o preço à prazo (valor final para quem parcelar) é
e o desconto à vista é de
, o preço à vista (valor presente) é o preço a prazo menos
desse preço. Em fórmula:
Substituindo
:
Agora calculamos esse produto manualmente (mostrando passo a passo):
Fazendo a multiplicação:
logo
(Arredondando sensatamente para centavos,
.)
Passo 3
Relembrando a fórmula dos juros compostos: se um valor presente
é capitalizado por
períodos a uma taxa mensal
(em decimal), o valor futuro
é
Explicando as variáveis:
-
é o valor à vista (o que o comprador pagaria hoje). -
é o valor pago no fim do prazo (aqui o preço a prazo, ). -
é a taxa de juros por período (aqui por mês), em decimal. -
é o número de períodos (aqui meses).
Nós queremos encontrar
tal que, aplicado por
meses a
, resulte em
.
Passo 4
Montando a equação com os números que já temos:
Isolando
:
Mas, lembrando que
, isso simplifica algebraicamente para
Passo 5
Agora extraímos a raiz sexta para obter
:
E então
Passo 6
Cálculo numérico de
. Usamos logaritmo (ou cálculo passo a passo) para encontrar a raiz sexta. Tomando logaritmo natural:
Calculando numericamente (mostrando aproximações):
Então
Em porcentagem,
Passo 7
Verificação prática rápida: se
ao mês, então
e
ou seja, volta ao valor a prazo dado no enunciado (diferenças ínfimas ocorrem por arredondamento), confirmando que a taxa mensal cobrada é
ao mês.