Um banco anuncia que a taxa para empréstimo pessoal é de 2,5 \% ao mês (juros compostos). Um cliente retirou R$20.000,00 e quando foi saldar sua dívida, o gerente lhe disse que esta importava em R$ 31.193,17. Quanto tempo levou o cliente para restituir o empréstimo? R.: 18 meses.

Passo 1

O enunciado diz que a taxa do empréstimo é de 2{,}5\% ao mês (juros compostos). O cliente pegou emprestado R\$\,20.000{,}00 e, ao pagar, a dívida era R\$\,31.193{,}17. A pergunta é: quanto tempo (em meses) levou para restituir o empréstimo?
Informações dadas:
\text{capital inicial }P = R\$\,20.000{,}00
\text{montante final }A = R\$\,31.193{,}17
\text{taxa mensal }i = 2{,}5\% = 0{,}025
O que se pede: encontrar o tempo n (em meses) tal que o montante acumulado em juros compostos bate com o valor informado.

Passo 2

Apresento a fórmula dos juros compostos e explico cada parte, bem devagarinho: quando os juros são compostos, a quantidade de dinheiro cresce multiplicando o capital por (1+i) a cada período. A fórmula geral é
A = P(1+i)^n,
onde
  • A é o montante acumulado (o valor a ser pago no fim),
  • P é o capital inicial (o que foi emprestado),
  • i é a taxa por período (aqui, por mês),
  • n é o número de períodos (aqui, número de meses).
    Essa fórmula vem da ideia de que, após 1 mês você tem P(1+i), após 2 meses P(1+i)^2, e assim sucessivamente.

Passo 3

Substituímos os valores conhecidos na fórmula para relacionar n:
31.193{,}17 = 20.000 \cdot (1+0{,}025)^n.
Primeiro simplificamos dividindo ambos os lados por 20.000 para isolar a potência:
\frac{31.193{,}17}{20.000} = (1{,}025)^n.
Calculemos a razão (peguei os números do enunciado):
\frac{31.193{,}17}{20.000} = 1{,}5596585.
Então temos
(1{,}025)^n = 1{,}5596585.

Passo 4

Para achar n quando ele está como expoente, usamos logaritmos. Lembre-se: logaritmo é a operação inversa de elevar a uma potência. A propriedade que vamos usar é
\log(a^n) = n \log(a).
Aplicando logaritmo (pode ser ln, log base 10, qualquer base serve) aos dois lados:
\ln\big((1{,}025)^n\big) = \ln(1{,}5596585).
Pela propriedade acima:
n \cdot \ln(1{,}025) = \ln(1{,}5596585).
Logo isolamos n:
n = \frac{\ln(1{,}5596585)}{\ln(1{,}025)}.
Um exemplo simples para fixar: se tivéssemos 2^x = 8, então \ln(2^x)=\ln(8) e x\ln 2 = \ln 8, dando x = \ln 8 / \ln 2 = 3. Mesma ideia aqui.

Passo 5

Agora vamos calcular os logaritmos (aqui usamos aproximações numéricas — na prova normalmente usa-se calculadora para logaritmos). Calculemos cada ln (mostro valores aproximados):
\ln(1{,}5596585) \approx 0{,}443572
\ln(1{,}025) \approx 0{,}0246926
Dividindo:
n \approx \frac{0{,}443572}{0{,}0246926} \approx 17{,}96.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: obtivemos n \approx 17{,}96 meses. Isso significa que o tempo real está muito próximo de 18 meses. Em contextos de financiamento costuma-se expressar o tempo em meses inteiros; 17{,}96 meses é praticamente 18 meses. Portanto o cliente levou 18 meses para restituir o empréstimo.

Resposta

18 meses.

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