Um banco anuncia que a taxa para empréstimo pessoal é de
ao mês (juros compostos). Um cliente retirou R$20.000,00 e quando foi saldar sua dívida, o gerente lhe disse que esta importava em R$ 31.193,17. Quanto tempo levou o cliente para restituir o empréstimo? R.: 18 meses.
Passo 1
O enunciado diz que a taxa do empréstimo é de
ao mês (juros compostos). O cliente pegou emprestado
e, ao pagar, a dívida era
. A pergunta é: quanto tempo (em meses) levou para restituir o empréstimo?
Informações dadas:
Informações dadas:
O que se pede: encontrar o tempo
(em meses) tal que o montante acumulado em juros compostos bate com o valor informado.
Passo 2
Apresento a fórmula dos juros compostos e explico cada parte, bem devagarinho: quando os juros são compostos, a quantidade de dinheiro cresce multiplicando o capital por
a cada período. A fórmula geral é
onde
-
é o montante acumulado (o valor a ser pago no fim), -
é o capital inicial (o que foi emprestado), -
é a taxa por período (aqui, por mês), -
é o número de períodos (aqui, número de meses).
Essa fórmula vem da ideia de que, após 1 mês você tem, após 2 meses , e assim sucessivamente.
Passo 3
Substituímos os valores conhecidos na fórmula para relacionar
:
Primeiro simplificamos dividindo ambos os lados por
para isolar a potência:
Calculemos a razão (peguei os números do enunciado):
Então temos
Passo 4
Para achar
quando ele está como expoente, usamos logaritmos. Lembre-se: logaritmo é a operação inversa de elevar a uma potência. A propriedade que vamos usar é
Aplicando logaritmo (pode ser ln, log base 10, qualquer base serve) aos dois lados:
Pela propriedade acima:
Logo isolamos
:
Um exemplo simples para fixar: se tivéssemos
, então
e
, dando
. Mesma ideia aqui.
Passo 5
Agora vamos calcular os logaritmos (aqui usamos aproximações numéricas — na prova normalmente usa-se calculadora para logaritmos). Calculemos cada ln (mostro valores aproximados):
Dividindo:
Passo 6
Interpretação e arredondamento: obtivemos
meses. Isso significa que o tempo real está muito próximo de 18 meses. Em contextos de financiamento costuma-se expressar o tempo em meses inteiros;
meses é praticamente
meses. Portanto o cliente levou 18 meses para restituir o empréstimo.