Uma pessoa toma \mathrm{R} \ 1.000,00 emprestado a juros de2 % a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? R.: R\çã 1.218,99.

Passo 1

O enunciado diz que uma pessoa tomou emprestado \text{R\$ }1.000,00 a juros de 2\% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. A pergunta é: qual o montante (valor total a ser devolvido) ao final dos 10 meses?\n
Informações fornecidas:
P=\text{R\$ }1.000,00
i=2\%=0,02\\ \text{(por mês)}ê
n=10\\ \text{meses}

Passo 2

Entendendo a capitalização composta (aula rápida e prática): na capitalização composta, a cada período os juros são calculados sobre o saldo acumulado (ou seja, “juros sobre juros”). Se P é o capital inicial, i é a taxa por período e M_n é o montante após n períodos, a relação entre períodos sucessivos é
M_{k}=M_{k-1}(1+i),
com M_0=P. Aplicando essa relação repetidamente, obtemos a fórmula fechada do montante:
M_n = P(1+i)^n.
Aqui:
  • M_n é o montante após n períodos (o que precisamos achar);
  • P é o principal ou capital inicial;
  • i é a taxa por período (em forma decimal);
  • n é o número de períodos.
Exemplo simples para fixar: se P=100 e i=0,10 (10%) num período, após 2 períodos temos M_2=100(1,10)^2=100\cdot1,21=121 — já dá para ver os juros do segundo período incidindo sobre os juros do primeiro.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao nosso caso. Substituindo P, i e n:
M_{10}=P(1+i)^{10}=\text{R\$}1.000,00\cdot(1+0,02)^{10}=\text{R\$ }1.000,00\cdot(1,02)^{10}.
Vamos calcular (1,02)^{10} fazendo multiplicações sucessivas (maneira que dá para fazer na prova sem mágica):
\begin{aligned} (1,02)^1&=1,02,\\\ (1,02)^2&=1,0404,\\\ (1,02)^3&=1,061208,\\\ (1,02)^4&=1,08243216,\\\ (1,02)^5&=1,1040808032,\\\ (1,02)^6&=1,126162419264,\\\ (1,02)^7&=1,14868566764928,\\\ (1,02)^8&=1,1716593810022656,\\\ (1,02)^9&=1,1950925686223109,\\\ (1,02)^{10}&=1,2189944199947572. \end{aligned}
Esses valores foram obtidos multiplicando a potência anterior por 1,02 a cada passo (por exemplo, 1,02^3=1,02^2\cdot1,02=1,0404\cdot1,02=1,061208, e assim por diante).

Passo 4

Multiplicamos pelo capital inicial para obter o montante:
M_{10}=\text{R\$}1.000,00\cdot 1,2189944199947572=\text{R\$ }1.218,9944199947572.
Como estamos tratando de moeda, devemos arredondar para centavos (duas casas decimais). Observando a terceira casa decimal: temos 1.218,994\ldots; a terceira casa decimal é 4, que é menor que 5, então arredondamos para baixo. Assim o montante arredondado é \text{R\$ }1.218,99.

Passo 5

Resumo prático para a prova (receita de bolso):
  1. Identifique P, i e n.
  2. Use M=P(1+i)^n.
  3. Calcule (1+i)^n por multiplicações sucessivas se não puder usar calculadora.
  4. Multiplique por P e arredonde para duas casas decimais (centavos).
Você conseguiu — é só seguir esses passos na prova que dá certo!

Resposta

\text{R\$ }1.218,99

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