Uma garçonete empurra uma garrafa de ketchup de massa igual a 0,45 \mathrm{~kg} ao longo de um balcão liso e horizontal. Quando a garrafa deixa sua mão, ela possui velocidade de 2,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, que depois diminui por causa do atrito horizontal constante exercido pela superfície superior do balcão. A garrafa percorre uma distância de 1,0 \mathrm{~m} até parar. Determine o módulo, a direção e o sentido da força de atrito que atua na garrafa.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que ele pede. Dados fornecidos:
m=0,45\\ \mathrm{kg}
v_0=2,8\\ \mathrm{m/s}
\text{distância até parar } s=1,0\\ \mathrm{m}âé
A superfície é lisa e horizontal e há uma força de atrito horizontal constante que reduz a velocidade da garrafa até zero. O que é pedido: determinar o módulo, a direção e o sentido da força de atrito que atua sobre a garrafa.

Passo 2

Ideia de solução (explicação didática do conceito usado): a maneira mais direta é usar o teorema da energia (ou trabalho-energia). Esse teorema diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação da sua energia cinética. Em símbolos:
W_{\text{total}}=\Delta K=K_f-K_i
Aqui a única força que faz trabalho horizontal significativo é a força de atrito (a força normal e o peso fazem trabalho nulo se não há deslocamento vertical). Então o trabalho da força de atrito W_{\text{fr}} é igual à variação da energia cinética da garrafa. Vou explicar cada termo:
  • K_i é a energia cinética inicial, dada por \displaystyle K_i=\frac{1}{2}m v_0^2, onde m é a massa e v_0 a velocidade inicial.
  • K_f é a energia cinética final. Como a garrafa para, K_f=0.
  • O trabalho feito por uma força constante que atua ao longo de um deslocamento s com ângulo \theta entre força e deslocamento é \displaystyle W=F s \cos\theta. No caso de atrito que atua contrário ao movimento, \cos\theta=-1 e W_{\text{fr}}=-F_{\text{fr}} s.

Passo 3

Calcular a energia cinética inicial K_i. Usando a fórmula:
K_i=\frac{1}{2} m v_0^2
Substituindo os valores:
v_0^2=(2,8)^2=7,84
\frac{1}{2}m=\frac{1}{2}\cdot 0,45=0,225
K_i=0,225\cdot 7,84=1,764\\ \mathrm{J}
(somando os passos: \,0{,}225\times7{,}84=1{,}764). Podemos guardar K_i=1,764\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Energia cinética final K_f. A garrafa para, então:
K_f=0\\ \mathrm{J}
Portanto a variação de energia cinética é
\Delta K=K_f-K_i=0-1,764=-1,764\\ \mathrm{J}.
Isso significa que o trabalho total (aqui, o trabalho do atrito) realizado sobre a garrafa foi -1,764\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Relacionar o trabalho do atrito com a força de atrito. Como o atrito é constante e antiparalelo ao deslocamento:
W_{\text{fr}}=-F_{\text{fr}}\,s.
Como W_{\text{fr}}=\Delta K=-1,764\\ \mathrm{J} e s=1,0\\ \mathrm{m}, isolamos F_{\text{fr}}:
-1{,}764=-F_{\text{fr}}\cdot 1{,}0
F_{\text{fr}}=1{,}764\\ \mathrm{N}.
Esse é o módulo da força de atrito. Em termos de algarismos significativos, com os dados dados (duas casas significativas para m e v_0), arredondamos para
F_{\text{fr}}\approx 1{,}8\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Determinar a direção e o sentido. A força de atrito atua ao longo da superfície do balcão (direção horizontal). O sentido do atrito é sempre oposto ao sentido do movimento (ou seja, oposto à velocidade instantânea). Como a garrafa inicialmente se movia para frente (velocidade v_0 dada), a força de atrito aponta para trás, isto é, contrária ao deslocamento e à velocidade.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, para reforçar o entendimento): usando cinemática com aceleração constante, temos
v^2=v_0^2+2 a s.
Como v=0 no final,
0= v_0^2+2 a s \Rightarrow a=-\frac{v_0^2}{2s}=-\frac{7{,}84}{2\cdot 1{,}0}=-3{,}92\\ \mathrm{m/s^2}.
Então a força resultante horizontal (aqui, somente a força de atrito) é
F_{\text{fr}}=m a=0{,}45\cdot(-3{,}92)=-1{,}764\\ \mathrm{N},
o que confirma o módulo 1{,}764\\ \mathrm{N} e o sinal negativo mostra que ela está no sentido contrário ao movimento.

Resposta

Módulo: 1{,}8\\ \mathrm{N}
Direção: horizontal (paralela à superfície do balcão)
Sentido: apontando para trás, ou seja, oposto ao movimento/velocidade da garrafa.

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