Três vetores são dados por \mathbf{a}=3 \mathbf{i}+34 \mathbf{j}-2 \mathbf{k}, \mathbf{b}= -\mathbf{i}-4 \mathbf{j}+2 \mathbf{k}, \mathbf{c}=2 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}+\mathbf{k}. Ache
\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede o produto escalar de \mathbf{a} com a soma \mathbf{b}+\mathbf{c}. As informações fornecidas são:
\mathbf{a}=3\mathbf{i}+34\mathbf{j}-2\mathbf{k}
\mathbf{b}=-\mathbf{i}-4\mathbf{j}+2\mathbf{k}
\mathbf{c}=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}
A pergunta é calcular
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c}).

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): o produto escalar entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é definido componente a componente. Se
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)\quad\text{e}\quad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Propriedade útil: o produto escalar é distributivo em relação à soma, ou seja
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}.
Aqui vou usar a definição componente a componente diretamente (é o jeito mais simples na prova).

Passo 3

Primeiro calculemos a soma \mathbf{b}+\mathbf{c}. Peguei os componentes de \mathbf{b} e \mathbf{c} dos dados acima.
Escrevendo em componentes:
\mathbf{b}=(-1,-4,2),\qquad \mathbf{c}=(2,2,1).
Somando componente a componente:
\mathbf{b}+\mathbf{c}=(-1+2,\;-4+2,\;2+1)=(1,-2,3).

Passo 4

Agora aplicamos a definição do produto escalar entre \mathbf{a} e \mathbf{b}+\mathbf{c}. Escrevendo \mathbf{a} em componentes (peguei do enunciado):
\mathbf{a}=(3,34,-2).
Portanto
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})= (3,34,-2)\cdot(1,-2,3).
Usando a fórmula componente a componente:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=3\cdot 1 + 34\cdot(-2) + (-2)\cdot 3.
Calculemos cada termo:
3\cdot 1 = 3,
34\cdot(-2) = -68,
(-2)\cdot 3 = -6.
Somando:
3 + (-68) + (-6) = 3 - 68 - 6 = -71.

Passo 5

Verificação (opcional, para ganhar confiança): usando a distributividade podemos checar se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} dá o mesmo resultado. Calculemos rapidamente:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3\cdot(-1)+34\cdot(-4)+(-2)\cdot 2 = -3 -136 -4 = -143,
\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=3\cdot 2 + 34\cdot 2 + (-2)\cdot 1 = 6 +68 -2 = 72,
-143 + 72 = -71,
que coincide com o resultado anterior, então está consistente.

Resposta

-71

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