Mostre que a lei distribuitiva se aplica a ambos os produtos, vetorial e escalar; isto é, mostre que
\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}
e que
\mathbf{a} \times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \times \mathbf{b}+\mathbf{a} \times \mathbf{c}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas igualdades envolvendo operações com vetores:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}
e
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\mathbf{c}.
As informações dadas são apenas as três variáveis vetoriais \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c}. A tarefa é provar que tanto o produto escalar quanto o produto vetorial são distributivos em relação à soma de vetores.

Passo 2

Vamos representar os vetores por suas componentes cartesianas (isso é permitido porque a propriedade deve valer em qualquer base cartesiana). Escrevemos
\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),\qquad \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3).
Lembre que a soma de vetores é feita componente a componente:
\mathbf{b}+\mathbf{c}=(b_1+c_1,\;b_2+c_2,\;b_3+c_3).

Passo 3

Definição do produto escalar (dot product): para dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) temos
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
ou seja, multiplicamos componentes correspondentes e somamos — é uma soma de produtos de números reais.

Passo 4

Agora calculamos \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c}) usando a definição:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=a_1(b_1+c_1)+a_2(b_2+c_2)+a_3(b_3+c_3).
Aplicando a propriedade distributiva dos números reais a cada termo (porque a_i(b_i+c_i)=a_ib_i+a_ic_i) obtemos
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)+(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3).
Pelo que reconhecemos as somas como os produtos escalares \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} e \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}. Logo
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}.

Passo 5

Definição do produto vetorial (cross product) em componentes: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Cada componente é uma combinação de produtos e diferenças de componentes; é suficiente provar a igualdade componente a componente.

Passo 6

Calculemos a primeira componente de \mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c}). Usando a fórmula:
\big(\mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})\big)_1 = a_2(b_3+c_3)-a_3(b_2+c_2).
Expandindo pela distributividade dos números reais:
a_2b_3+a_2c_3 - a_3b_2 - a_3c_2 = (a_2b_3-a_3b_2) + (a_2c_3-a_3c_2).
O primeiro parêntese é a primeira componente de \mathbf{a}\times\mathbf{b} e o segundo é a primeira componente de \mathbf{a}\times\mathbf{c}. Logo a primeira componente satisfaz a distributividade.

Passo 7

Repitamos para as demais componentes. Segunda componente:
\big(\mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})\big)_2 = a_3(b_1+c_1)-a_1(b_3+c_3)
= (a_3b_1-a_1b_3) + (a_3c_1-a_1c_3),
que é a soma das segundas componentes de \mathbf{a}\times\mathbf{b} e \mathbf{a}\times\mathbf{c}. Terceira componente:
\big(\mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})\big)_3 = a_1(b_2+c_2)-a_2(b_1+c_1)
= (a_1b_2-a_2b_1) + (a_1c_2-a_2c_1),
que é a soma das terceiras componentes de \mathbf{a}\times\mathbf{b} e \mathbf{a}\times\mathbf{c}.

Passo 8

Como as três componentes de \mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c}) coincidem com as somas das componentes correspondentes de \mathbf{a}\times\mathbf{b} e \mathbf{a}\times\mathbf{c}, concluímos a igualdade vetorial:
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\mathbf{c}.
Se quiser conferir numericamente (sempre ajuda): tome \mathbf{a}=(1,2,3), \mathbf{b}=(4,5,6), \mathbf{c}=(7,8,9). Então \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=82 e \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=32+50=82. Para o produto vetorial obtemos \mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=(-9,18,-9) e \mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\mathbf{c}=(-3,6,-3)+(-6,12,-6)=(-9,18,-9), confirmando as igualdades.

Resposta

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\mathbf{c}

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