Mostre que a lei distribuitiva se aplica a ambos os produtos, vetorial e escalar; isto é, mostre que
e que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas igualdades envolvendo operações com vetores:
e
As informações dadas são apenas as três variáveis vetoriais
,
e
. A tarefa é provar que tanto o produto escalar quanto o produto vetorial são distributivos em relação à soma de vetores.
Passo 2
Vamos representar os vetores por suas componentes cartesianas (isso é permitido porque a propriedade deve valer em qualquer base cartesiana). Escrevemos
Lembre que a soma de vetores é feita componente a componente:
Passo 3
Definição do produto escalar (dot product): para dois vetores
e
temos
ou seja, multiplicamos componentes correspondentes e somamos — é uma soma de produtos de números reais.
Passo 4
Agora calculamos
usando a definição:
Aplicando a propriedade distributiva dos números reais a cada termo (porque
) obtemos
Pelo que reconhecemos as somas como os produtos escalares
e
. Logo
Passo 5
Definição do produto vetorial (cross product) em componentes: para
e
,
Cada componente é uma combinação de produtos e diferenças de componentes; é suficiente provar a igualdade componente a componente.
Passo 6
Calculemos a primeira componente de
. Usando a fórmula:
Expandindo pela distributividade dos números reais:
O primeiro parêntese é a primeira componente de
e o segundo é a primeira componente de
. Logo a primeira componente satisfaz a distributividade.
Passo 7
Repitamos para as demais componentes. Segunda componente:
que é a soma das segundas componentes de
e
. Terceira componente:
que é a soma das terceiras componentes de
e
.
Passo 8
Como as três componentes de
coincidem com as somas das componentes correspondentes de
e
, concluímos a igualdade vetorial:
Se quiser conferir numericamente (sempre ajuda): tome
,
,
. Então
e
. Para o produto vetorial obtemos
e
, confirmando as igualdades.