A duração da gestação \left(t_{g}\right) segue uma relação da forma t_{g} \propto m^{1 / 4}. A partir do tempo de gestação de uma gata ( \mathrm{m}_{\mathrm{G}}=5 kg e t_{g}=2,3 mês ), calcule a duração da gestação t_{g} (em meses) de uma égua ( \mathrm{m}_{\mathrm{E}}=400 \mathrm{~kg} ).

Passo 1

O enunciado dá uma relação de proporcionalidade entre a duração da gestação t_{g} e a massa m, do tipo t_{g}\propto m^{1/4}. Os dados fornecidos são:
  • Para a gata: m_{G}=5\\ \text{kg} e t_{g,G}=2,3\\ \text{meses}.
  • Para a égua: m_{E}=400\\ \text{kg}.
    O que é pedido: calcular a duração da gestação da égua t_{g,E} (em meses).

Passo 2

Transformando a proporcionalidade em uma fórmula com constante, escrevemos
t_{g}=k\,m^{1/4},
onde:
  • t_{g} é a duração da gestação (meses),
  • m é a massa (kg),
  • k é uma constante de proporcionalidade que depende da unidade escolhida.
    A ideia é usar os dados da gata para obter k e depois calcular t_{g} para a égua. Alternativamente, podemos usar a forma de razão entre dois animais para eliminar k:
\frac{t_{g,E}}{t_{g,G}}=\left(\frac{m_{E}}{m_{G}}\right)^{1/4},
que vem de dividir as duas equações t_{g,E}=k m_{E}^{1/4} e t_{g,G}=k m_{G}^{1/4}. Vou usar essa forma de razão porque evita calcular k separadamente e é mais direta.

Passo 3

Aplicando a fórmula da razão com os números dados:
t_{g,E}=t_{g,G}\left(\frac{m_{E}}{m_{G}}\right)^{1/4}.
Substituindo t_{g,G}=2,3, m_{E}=400 e m_{G}=5:
t_{g,E}=2,3\left(\frac{400}{5}\right)^{1/4}.

Passo 4

Calculemos a razão de massas:
\frac{400}{5}=80.
Logo
t_{g,E}=2,3\cdot 80^{1/4}.
Para facilitar a computação sem uma calculadora pesada, fatoramos 80 como 80=16\cdot5. Então
80^{1/4}=(16\cdot5)^{1/4}=16^{1/4}\cdot5^{1/4}.
Como 16^{1/4}=2 (porque 2^{4}=16), obtemos
80^{1/4}=2\cdot5^{1/4}.
Portanto
t_{g,E}=2,3\cdot 2\cdot5^{1/4}=4,6\cdot5^{1/4}.

Passo 5

Agora precisamos de 5^{1/4}. Podemos calcular 5^{1/4} como a raiz quadrada da raiz quadrada de 5:
5^{1/4}=\sqrt{\sqrt{5}}.
Primeiro calculemos \sqrt{5}. Conhecendo aproximações básicas, \sqrt{5}\approx2,2360679. Tomando a raiz quadrada novamente:
\sqrt{2,2360679}\approx1,49535.
Assim 5^{1/4}\approx1,49535. Então
t_{g,E}=4,6\cdot1,49535\approx6,8786.

Passo 6

Arredondando de forma prática para duas casas decimais (suficiente para esse contexto), obtemos
t_{g,E}\approx6,88\\ \text{meses}.
Uma checagem rápida: a gata tem 2,3 meses e a égua, sendo muito maior, tem gestação maior — valor obtido faz sentido em ordem de grandeza.

Resposta

t_{g,E}\approx6,88\\ \text{meses}

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