Um gás de caroço duro - sem interações, mas com volume excluído pode ser descrito pela equação de estado
, onde
é o volume de cada partícula. Para este sistema: Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um gás que tem partículas que ocupam espaço (a gente chama isso de volume excluído) mas que não interagem entre si de outras maneiras. A equação de estado que descreve esse gás é $ P(V - N b) = N k_{B} T $, onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ V $ é o volume total,
- $ N $ é o número de partículas,
- $ b $ é o volume que cada partícula exclui,
- $ k_{B} $ é a constante de Boltzmann,
- $ T $ é a temperatura.
A gente precisa mostrar que a energia interna $ E $ desse sistema depende apenas da temperatura $ T $ e do número de partículas $ N $, ou seja, $ E = E(T, N) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é energia interna $ E $. Ela representa toda a energia cinética e potencial das partículas do gás. No caso desse gás específico, como as partículas não interagem além de ocuparem espaço, a energia interna vem apenas da energia cinética das partículas.
Passo 3
A energia cinética média de uma partícula em um gás ideal depende apenas da temperatura. Isso porque a energia cinética está relacionada ao movimento das partículas, que é afetado pela temperatura. A relação é dada por:
Aqui, $ f $ representa os graus de liberdade das partículas (como movimento em diferentes direções).
Passo 4
No nosso caso, mesmo com o volume excluído, as partículas não têm interações adicionais que poderiam influenciar a energia interna. Ou seja, a energia ainda depende apenas da temperatura e do número de partículas.
Passo 5
Portanto, combinando essas informações, concluímos que a energia interna $ E $ do sistema depende apenas de $ T $ e $ N $, já que não há outras formas de energia envolvidas (como interações potenciais).
Resposta
Assim, mostramos que $ E = E(T, N) $, ou seja, a energia interna depende somente da temperatura e do número de partículas.