Um gás em um conjunto cilindro-pistão passa por um processo de expansão, cuja relação entre pressão e volume é dada por p cdot V^n= constante.
Tendo a pressão inicial igual a 3 bar, o volume inicial de 0,1 m^3 e o final de 0,2 m^3, determine o trabalho para o processo quando:
a) n=1,5;
b) n=1,0;
c) n=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um gás que está se expandindo em um cilindro com pistão. A relação entre pressão ( ) e volume ( ) desse processo é dada por , que é conhecida como processo politrópico. Vamos precisar usar essa relação para calcular o trabalho feito durante a expansão do gás para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho em termodinâmica. O trabalho ( W = integralVi^Vf p , dV ) realizado por um gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
p = constanteV^n
Como temos uma relação politrópica ( ), podemos expressar em função de :

Passo 3

Vamos reescrever a constante usando as condições iniciais. Sabemos que:
pi cdot Vi^n = pf cdot Vf^n = constante
Então, a constante é igual a W = integralVi^Vf pi cdot Vi^nV^n , dV = pi cdot Vi^n integralVi^Vf V^-n , dV . Substituindo na equação do trabalho:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral V^-n , dV = V^-n+1-n+1 = V^1 - n1 - n :
W = pi cdot Vi^n1 - n ( Vf^1 - n - Vi^1 - n )
Então, o trabalho fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Note que W = pi cdot Vi^n1 - n ( (VfVi)^1 - n - 1 ) Vi^1 - n pode ser reescrito como W = pi cdot Vi - pi cdot Vi1 - n ( (VfVi)^1 - n - 1 ) . Assim, temos:
Mas isso simplifica para:
Na verdade, a expressão inicial já é suficiente para calcular o trabalho.

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho para cada caso específico.

a) W = 3 , bar cdot (0,1 , m^3)^1,51 - 1,5 ( (0,2 / 0,1)^1 - 1,5 - 1 )

Substituindo W = 3 cdot 0,1^1,5-0,5 (2^-0,5 - 1) na fórmula:
2^-0,5 = 1raiz2 approx 0,7071
Primeiro, calculamos W = 3 cdot 0,03162-0,5 (0,7071 - 1) = 0,09486-0,5 (-0,2929) approx 0,0555 , bar cdot m^3 , então:
W approx 0,0555 times 10^5 = 5550 , J
W = pi cdot Vi ln(VfVi)
Então:
W = 3 , bar cdot 0,1 , m^3 cdot ln(2) approx 0,3 , bar cdot m^3 cdot 0,6931 approx 0,2079 , bar cdot m^3
Convertendo bar·m³ para J (1 bar·m³ = 10⁵ J):
W approx 0,2079 times 10^5 = 20790 , J

b) W = p cdot (Vf - Vi)

Quando W = 3 , bar cdot (0,2 - 0,1) , m^3 = 3 , bar cdot 0,1 , m^3 = 0,3 , bar cdot m^3 , a equação se torna um processo isotérmico. Para W = 0,3 times 10^5 = 30000 , J , a fórmula do trabalho é:
Substituindo os valores:
Convertendo para J:

c)

Para , a relação . Isso significa que a pressão permanece constante durante a expansão. O trabalho para um processo a pressão constante é:
Substituindo os valores:
Convertendo para J:

Resposta

a)
b)
c)

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