Um gás em um conjunto cilindro-pistão passa por um processo de expansão, cuja relação entre pressão e volume é dada por
constante.
Tendo a pressão inicial igual a 3 bar, o volume inicial de
e o final de
, determine o trabalho para o processo quando:
a)
;
b)
;
c)
.
Tendo a pressão inicial igual a 3 bar, o volume inicial de
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um gás que está se expandindo em um cilindro com pistão. A relação entre pressão (
) e volume (
) desse processo é dada por
, que é conhecida como processo politrópico. Vamos precisar usar essa relação para calcular o trabalho feito durante a expansão do gás para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho em termodinâmica. O trabalho (
) realizado por um gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
Como temos uma relação politrópica (
), podemos expressar
em função de
:
Passo 3
Vamos reescrever a constante usando as condições iniciais. Sabemos que:
Então, a constante é igual a
. Substituindo na equação do trabalho:
Passo 4
Agora, vamos integrar
:
Então, o trabalho fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Note que
pode ser reescrito como
. Assim, temos:
Mas isso simplifica para:
Na verdade, a expressão inicial já é suficiente para calcular o trabalho.
Passo 6
Agora, vamos calcular o trabalho para cada caso específico.
a)
Substituindo
na fórmula:
Primeiro, calculamos
, então:
Então:
Convertendo bar·m³ para J (1 bar·m³ = 10⁵ J):
b)
Quando
, a equação se torna um processo isotérmico. Para
, a fórmula do trabalho é:
Substituindo os valores:
Convertendo para J:
c)
Para
, a relação
. Isso significa que a pressão permanece constante durante a expansão. O trabalho para um processo a pressão constante é:
Substituindo os valores:
Convertendo para J:
Resposta
a)
b)
c)