Uma barra de aço possui 5,00 cm de diâmetro quando
. Um anel feito de latão possui um diâmetro interno de 4,98 cm também nesta temperatura. Considerando equilíbrio térmico entre os dois materiais, em qual temperatura haverá um ajuste perfeito entre estas peças?
Dado:
Dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra de aço e um anel de latão que estão em equilíbrio térmico inicialmente a 25°C. Queremos descobrir a qual temperatura eles irão se ajustar perfeitamente, ou seja, quando o diâmetro da barra de aço igualar o diâmetro interno do anel de latão. Para isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica, que nos ajuda a entender como os materiais expandem ou contraem com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o que a gente tem:
- Diâmetro da barra de aço em 25°C:
- Diâmetro interno do anel de latão em 25°C:
- Coeficiente de dilatação linear do aço:
- Coeficiente de dilatação linear do latão:
A temperatura inicial é
e vamos chamar a temperatura desejada de
.
Passo 3
A dilatação linear é dada pela fórmula:
onde:
-
é a variação do comprimento (nesse caso, diâmetro), -
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de dilatação linear, -
é a variação de temperatura.
Queremos que o diâmetro da barra de aço aumente e o diâmetro interno do anel de latão diminua até se igualarem. Então, temos:
Como queremos que
, igualamos as duas expressões:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Primeiro, subtraímos 4,98 de ambos os lados:
Agora, vamos calcular os coeficientes multiplicando:
Subtraímos
de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Finalmente, somamos a variação de temperatura à temperatura inicial:
Resposta
A temperatura para o ajuste perfeito entre as peças é aproximadamente
.