Para um gás de eletrões degenerado, como é o caso dum metal, na aproximação de Thomas-Fermi, o potencial elétrico criado por um ião também é dado pela expressão apresentada no exercício anterior, com o comprimento de blindagem dado por:
onde
é a densidade de estados no nível de Fermi e
é a constante dielétrica de fundo. (Este comprimento caraterístico também é chamado “comprimento de Debye”, como no exercício anterior).
a) Avalie
para um metal típico com
.
b) Usando a expressão para a função dielétrica de Thomas-Fermi,
mostre que o potencial blindade é igual a
apresentado no exerrcício anterior.
a) Avalie
b) Usando a expressão para a função dielétrica de Thomas-Fermi,
Passo 1
O enunciado dá duas coisas importantes e pede duas tarefas:
-
Dados fornecidos:
- Densidade eletrónica típica do metal:
. - Constante dielétrica de fundo:
. - A expressão do comprimento de blindagem (Debye/Thomas–Fermi) é
onde é a densidade de estados por unidade de volume no nível de Fermi. - A função dielétrica no espaço de impulsos (Thomas–Fermi) é dada por
- Densidade eletrónica típica do metal:
-
O que é pedido:
(a) Avaliar numericamentepara o metal com os valores dados.
(b) Usando, mostrar que o potencial blindado tem a forma (a forma tipo “Yukawa”/Coulomb cegado) apresentada no exercício anterior — isto é, obter explicitamente a forma real-space do potencial blindado de uma carga pontual.
Observação: a resolução a seguir vai explicar passo a passo como obter
para um gás de elétrons livre degenerado, como calcular numericamente
(parte a) e como partir de
e da equação de Poisson em Fourier para obter o potencial blindado no espaço real (parte b). Não se assume conhecimento prévio: cada fórmula será justificada.
Passo 2
A densidade de estados por unidade de volume para elétrons livres (3D) e spin-degenerescência 2 é uma fórmula padrão; vamos deduzi‑la e explicá‑la:
-
Começamos da relação entre densidade
e vetor de Fermi : Explicação curta: no espaço de momentos cada estado ocupa volumee contando spins (2) e integrando até obtém-se a expressão acima. -
A energia de Fermi éonde
é a massa do eletrão e a constante reduzia de Planck. -
A densidade de estados por unidade de volume (por energia) em 3D éExplicação: deriva-se a partir da contagem de estados por volume de momento e uso de
. -
Para um gás degenerado a
, a quantidade é simplesmente , pois um pequeno aumento em preenche novos estados na vizinhança de . Assim: -
Podemos reescrever
em termos de (às vezes é mais prático): (Derivação rápida: substituirna fórmula do e simplificar; o resultado é a forma mostrada.) -
E podemos expressar
em função de :
Assim, para calcular
numericamente, basta calcular
a partir de
e depois usar
.
Passo 3
Cálculo numérico de
(parte a). Vamos trabalhar em unidades SI para obter um número em metros (faça atenção às conversões de unidades:
).
-
Primeiro convertemos a densidade:
-
Calculamos
: Vamos calcular numericamente (mostrando as etapas):
-
Agora
. Usamos constantes: -
, -
, -
.
Calculemose o denominador: -
O numerador
é
Portanto
-
Agora usamos a fórmula, em unidades SI, análoga à do enunciado (em SI o fator
do enunciado cgs fica incorporado em ; para obter um número prático usamos) ondee . (Esta é a forma SI correspondente; o enunciado usou a forma cgs com . O resultado numérico será o mesmo se as constantes forem tratadas consistentemente.) Calculemos:
- Converter para unidades mais familiares:
Interpretação física rápida: o comprimento de blindagem é muito pequeno — da ordem de décimos de angstrom — o que indica que cargas em metais são muito bem blindadas sobre distâncias comparáveis ao espaçamento interatômico. Isso é típico: o comprimento de Thomas–Fermi em metais é da ordem de frações de Å.
Passo 4
Derivação do potencial blindado a partir de
(parte b). Aqui ensinamos cada passo do procedimento de forma clara.
-
Ideia física e matemática: para uma carga pontual
localizada em , a densidade de carga em espaço de Fourier é . A equação de Poisson linearizada no espaço de Fourier, incluindo a resposta eletrónica via a permissividade , dá a relação (em unidades SI com a convenção de transformada abaixo): Explicação: na ausência de meio; o efeito do meio é dividir por . -
Para
e com , temos -
Reescrevendo em forma conveniente:Explicação: basta dividir numerador e denominador por
. -
Para voltar ao espaço real usamos a transformada inversa padrão (convenção
). Uma integral útil e padrão é onde. (Isto é um resultado tabulado de transformadas de Fourier radiais e pode ser provado integrando em coordenadas esféricas em -espaço.) -
Aplicando essa identidade, obtemos
-
Substituindo
, podemos escrever explicitamente o comprimento de decaimento: -
Observações sobre unidades e formas equivalentes:
- Na forma SI acima aparece o fator
que recupera o potencial coulombiano usual no limite de blindagem nula. - Em unidades gaussianas (cgs) a forma comum é
com forças e definições levemente diferentes; o ponto chave é que a forma espacial é uma potencial tipo Yukawa (Coulomb multiplicado por um fator exponencial de decaimento). - Portanto, a resposta é: o potencial blindado é o potencial de Coulomb multiplicado por
com dado acima. Isso é exatamente a forma do potencial apresentada no exercício anterior (a mesma dependência espacial em , o chamado potencial de Yukawa/Toma–Fermi), sendo a constante de decaimento compatível com a definição de usada.
- Na forma SI acima aparece o fator
Passo 5
Resumo físico e como usar isto na prova (dicas práticas):
- Para calcular
num problema, obtenha usando e . Depois aplique a fórmula dada para (ou a forma SI mostrada). - Para obter o potencial blindado: escreva a equação de Poisson em Fourier, use
para obter e faça a transformada inversa; utilize a identidade . Resultado final é um potencial do tipo Yukawa: que, dependendo das unidades (cgs/gaussian vs SI) e da convenção usada para definir , aparece na forma equivalente apresentada no exercício anterior.
Resposta
(a)
(b) que é a forma Yukawa (potencial de Coulomb blindado) e é equivalente à forma apresentada no exercício anterior, uma vez alinhadas as convenções de unidades e a definição de
.
(b)