Considere um gás bidimensional de eletrões quase livres, com massa m_{0}, confinado numa caixa semi-infinita ao longo da direção x (ocupa x \geq 0 ) e infinita na direção y. Mostre que a função de onda eletrónica é dada por
onde L_{x}, L_{y} \rightarrow \infty.
Calcule a densidade do gás (concentração de eletrões), n(x, y). O comportamento asimptótico de n(x, y) faz-lhe lembrar alguma coisa?
Pista. A concentração de eletrões pode ser calculada por
n(x, y)=\frac{2 A}{(2 \pi)^{2}} \int_{|\boldsymbol{k}| \leq k_{F}}\left|\psi_{\boldsymbol{k}}(x, y)\right|^{2} d \boldsymbol{k}
Passo 1
O enunciado dá um gás bidimensional de electrões quase livres, confinado em x\ge 0 (meia-recta) e livre na direcção y. Pede duas coisas principais:
Mostrar que a função de onda electrónica (auto-função do problema) é
onde A=L_xL_y e o factor 2 é a degenerescência de spin.
Informações relevantes fornecidas:
Região espacial: x\ge 0 (parede em x=0), y\in(-\infty,\infty).
Partícula livre (energia cinética) -> soluções em cada direcção são ondas planas, com condição de contorno em x.
O integral sobre \boldsymbol{k} é restrito ao disco |\boldsymbol{k}|\le k_F (estado fundamental preenchido até o Fermi).
Passo 2
Motivo físico da forma da função de onda e hipótese de contorno.
Em y a partícula é livre e usa-se base de ondas planas e^{i k_y y}. Para normalizar numa “caixa” de comprimento L_y usa-se fator 1/\sqrt{L_y}.
Em x há uma parede rígida em x=0 (região ocupada é x\ge0). A condição de contorno física é \psi(0,y)=0. As soluções de uma partícula livre em semi-eixo com essa condição são combinações de e^{\pm i k_x x} que dão funções reais \sin(k_x x) (autofunções ímpares que anulam em x=0).
Normalização em x numa “caixa” de comprimento L_x (com L_x\to\infty no final) dá um prefactor \sqrt{2/L_x} para o modo \sin(k_x x). Juntando com 1/\sqrt{L_y} em y obtemos
Observação imediata: o integrando não depende de y, logo n depende só de x. A densidade é isotrópica em y e só varia na direcção perpendicular à parede.
Passo 4
Passar para coordenadas polares no espaço \boldsymbol{k}=(k_x,k_y).
Em polares (k,\theta) com k_x=k\cos\theta, k_y=k\sin\theta, tem-se d\boldsymbol{k}=k\,dk\,d\theta e o domínio é 0\le k\le k_F, 0\le\theta<2\pi. Assim
A integral \int_0^{2\pi}\cos(a\cos\theta)\,d\theta é uma forma conhecida que dá 2\pi J_0(a), onde J_0 é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero. Assim
Com z=2k_F x isto dá um termo de correção oscilatório que decai com potência:
\frac{J_1(2k_F x)}{k_F x}\sim \frac{1}{(k_F x)^{3/2}}\times\text{(oscilação em }\cos(2k_F x-\tfrac{3\pi}{4})\text{)}.çã
Portanto a densidade tende para n_0 com oscilações amortecidas,
oscilações com período aproximado \pi/k_F (porque a oscilação é em \cos(2k_F x)) e amplitude decaindo ~x^{-3/2}. Esse comportamento lembra imediatamente as oscilações de Friedel — um padrão de ondas estacionárias na densidade próximo a superfícies ou impurezas devido à interferência entre ondas incidentes e reflectidas, com vector de onda dominante 2k_F.
A comportamento assintótico: n(x)\to n_0=\dfrac{k_F^2}{2\pi} com correção oscilatória \propto\cos(2k_F x-\tfrac{3\pi}{4})/x^{3/2}; isto lembra as oscilações de Friedel (ondulação de densidade próxima à parede).