Considere um gás bidimensional de eletrões quase livres, com massa m_{0}, confinado numa caixa semi-infinita ao longo da direção x (ocupa x \geq 0 ) e infinita na direção y. Mostre que a função de onda eletrónica é dada por
\psi_{\boldsymbol{k}}(x, y)=\sqrt{\frac{2}{L_{x} L_{y}}} \sin \left(k_{x} x\right) e^{i k_{y} y}
onde L_{x}, L_{y} \rightarrow \infty.
Calcule a densidade do gás (concentração de eletrões), n(x, y). O comportamento asimptótico de n(x, y) faz-lhe lembrar alguma coisa?
Pista. A concentração de eletrões pode ser calculada por
n(x, y)=\frac{2 A}{(2 \pi)^{2}} \int_{|\boldsymbol{k}| \leq k_{F}}\left|\psi_{\boldsymbol{k}}(x, y)\right|^{2} d \boldsymbol{k}

Passo 1

O enunciado dá um gás bidimensional de electrões quase livres, confinado em x\ge 0 (meia-recta) e livre na direcção y. Pede duas coisas principais:
  • Mostrar que a função de onda electrónica (auto-função do problema) é
\psi_{\boldsymbol{k}}(x,y)=\sqrt{\frac{2}{L_{x}L_{y}}}\,\sin\!\big(k_x x\big)\,e^{i k_y y},
com L_x,L_y\to\infty.
  • Calcular a densidade (concentração) de electrões n(x,y) usando a pista
n(x,y)=\frac{2A}{(2\pi)^2}\int_{|\boldsymbol{k}|\le k_F}\big|\psi_{\boldsymbol{k}}(x,y)\big|^2 d\boldsymbol{k},
onde A=L_xL_y e o factor 2 é a degenerescência de spin.
Informações relevantes fornecidas:
  • Região espacial: x\ge 0 (parede em x=0), y\in(-\infty,\infty).
  • Partícula livre (energia cinética) -> soluções em cada direcção são ondas planas, com condição de contorno em x.
  • O integral sobre \boldsymbol{k} é restrito ao disco |\boldsymbol{k}|\le k_F (estado fundamental preenchido até o Fermi).

Passo 2

Motivo físico da forma da função de onda e hipótese de contorno.
  • Em y a partícula é livre e usa-se base de ondas planas e^{i k_y y}. Para normalizar numa “caixa” de comprimento L_y usa-se fator 1/\sqrt{L_y}.
  • Em x há uma parede rígida em x=0 (região ocupada é x\ge0). A condição de contorno física é \psi(0,y)=0. As soluções de uma partícula livre em semi-eixo com essa condição são combinações de e^{\pm i k_x x} que dão funções reais \sin(k_x x) (autofunções ímpares que anulam em x=0).
  • Normalização em x numa “caixa” de comprimento L_x (com L_x\to\infty no final) dá um prefactor \sqrt{2/L_x} para o modo \sin(k_x x). Juntando com 1/\sqrt{L_y} em y obtemos
\psi_{\boldsymbol{k}}(x,y)=\sqrt{\frac{2}{L_x L_y}}\,\sin\!\big(k_x x\big)\,e^{i k_y y},
onde k_x>0 (valores contínuos quando L_x\to\infty). Isto justifica a forma pedida.

Passo 3

Escrever explicitamente a expressão para n(x,y) e simplificar.
Substitui-se |\psi_{\boldsymbol{k}}|^2 na pista. Primeiro calcule:
\big|\psi_{\boldsymbol{k}}(x,y)\big|^2=\frac{2}{L_x L_y}\sin^2\!\big(k_x x\big).
Usando A=L_xL_y na pista,
n(x,y)=\frac{2A}{(2\pi)^2}\int_{|\boldsymbol{k}|\le k_F}\frac{2}{L_xL_y}\sin^2\!\big(k_x x\big)\,d\boldsymbol{k}.
Como A/(L_xL_y)=1 a dependência em L_x,L_y cancela, sobrando
n(x,y)=\frac{4}{(2\pi)^2}\int_{|\boldsymbol{k}|\le k_F}\sin^2\!\big(k_x x\big)\,d\boldsymbol{k}=\frac{1}{\pi^2}\int_{|\boldsymbol{k}|\le k_F}\sin^2\!\big(k_x x\big)\,d\boldsymbol{k}.
Observação imediata: o integrando não depende de y, logo n depende só de x. A densidade é isotrópica em y e só varia na direcção perpendicular à parede.

Passo 4

Passar para coordenadas polares no espaço \boldsymbol{k}=(k_x,k_y).
Em polares (k,\theta) com k_x=k\cos\theta, k_y=k\sin\theta, tem-se d\boldsymbol{k}=k\,dk\,d\theta e o domínio é 0\le k\le k_F, 0\le\theta<2\pi. Assim
n(x)=\frac{1}{\pi^2}\int_{0}^{k_F}k\,dk\int_{0}^{2\pi}\sin^2\!\big(k x\cos\theta\big)\,d\theta.
Para calcular a integral angular usamos a identidade trigonométrica
\sin^2 u=\frac{1-\cos(2u)}{2}.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\sin^2\!\big(k x\cos\theta\big)\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos\!\big(2kx\cos\theta\big)\,d\theta.
A integral \int_0^{2\pi}\cos(a\cos\theta)\,d\theta é uma forma conhecida que dá 2\pi J_0(a), onde J_0 é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero. Assim
\int_{0}^{2\pi}\sin^2\!\big(k x\cos\theta\big)\,d\theta=\pi\big[1-J_0(2kx)\big].

Passo 5

Fazer a integral em k.
Substituindo o resultado angular em n(x):
n(x)=\frac{1}{\pi^2}\int_{0}^{k_F}k\,dk\;\pi\big[1-J_0(2kx)\big] =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{k_F}k\big[1-J_0(2kx)\big]\,dk.
Separe em duas integrais:
n(x)=\frac{1}{\pi}\left(\int_0^{k_F}k\,dk-\int_0^{k_F}k J_0(2kx)\,dk\right).
A primeira integral é trivial:
\int_0^{k_F}k\,dk=\frac{k_F^2}{2}.
A segunda usa a primitiva conhecida (ou pode-se verificar por diferenciação):
\int_0^{k_F}k J_0(2kx)\,dk=\frac{k_F J_1(2k_F x)}{2x},
onde J_1 é a Bessel de ordem um. (Verificação rápida: a derivada em relação ao limite superior reproduz k J_0(2kx).)

Passo 6

Reunir os termos e simplificar para obter a expressão final para n(x).
Substituindo as integrais:
n(x)=\frac{1}{\pi}\left(\frac{k_F^2}{2}-\frac{k_F J_1(2k_F x)}{2x}\right) =\frac{k_F^2}{2\pi}\left[1-\frac{J_1(2k_F x)}{k_F x}\right].
Identifique a densidade de bulk (sem parede) em duas dimensões:
n_0=\frac{k_F^2}{2\pi},
logo a expressão pode ser escrita como
n(x)=n_0\left[1-\frac{J_1(2k_F x)}{k_F x}\right].

Passo 7

Comportamento assintótico e interpretação física.
Para x\to\infty usa-se o comportamento assintótico da Bessel J_1(z) para z\gg1:
J_1(z)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\!\left(z-\tfrac{3\pi}{4}\right).
Com z=2k_F x isto dá um termo de correção oscilatório que decai com potência:
\frac{J_1(2k_F x)}{k_F x}\sim \frac{1}{(k_F x)^{3/2}}\times\text{(oscilação em }\cos(2k_F x-\tfrac{3\pi}{4})\text{)}.çã
Portanto a densidade tende para n_0 com oscilações amortecidas,
oscilações com período aproximado \pi/k_F (porque a oscilação é em \cos(2k_F x)) e amplitude decaindo ~ x^{-3/2}. Esse comportamento lembra imediatamente as oscilações de Friedel — um padrão de ondas estacionárias na densidade próximo a superfícies ou impurezas devido à interferência entre ondas incidentes e reflectidas, com vector de onda dominante 2k_F.

Resposta

\psi_{\boldsymbol{k}}(x,y)=\sqrt{\frac{2}{L_x L_y}}\,\sin\!\big(k_x x\big)\,e^{i k_y y}
n(x)=\frac{k_F^2}{2\pi}\left[1-\frac{J_1(2k_F x)}{k_F x}\right]
A comportamento assintótico: n(x)\to n_0=\dfrac{k_F^2}{2\pi} com correção oscilatória \propto\cos(2k_F x-\tfrac{3\pi}{4})/x^{3/2}; isto lembra as oscilações de Friedel (ondulação de densidade próxima à parede).

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